Proprietà delle trasformazioni affini
salve,
trovandomi a svolgere esercizi nei quali si chiedeva di determinare una certa affinità nel piano ordinario ho imparato nella pratica questa relazione:
se ho $f(r)=r'$,$f(s)=s'$,$f(t)=t'$. Dove $r,s,t,r',s',t'$ sono rette,allora $A=rnns$,$B=snnt$, $C=rnnt$ e $A'=r'nns'$,$B'=s'nnt'$, $C'=r'nnt'$ sono tali che $f(A)=A'$,$f(B)=B'$,$f(C)=C'$.
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come ci si arriva in teoria?
trovandomi a svolgere esercizi nei quali si chiedeva di determinare una certa affinità nel piano ordinario ho imparato nella pratica questa relazione:
se ho $f(r)=r'$,$f(s)=s'$,$f(t)=t'$. Dove $r,s,t,r',s',t'$ sono rette,allora $A=rnns$,$B=snnt$, $C=rnnt$ e $A'=r'nns'$,$B'=s'nnt'$, $C'=r'nnt'$ sono tali che $f(A)=A'$,$f(B)=B'$,$f(C)=C'$.
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi come ci si arriva in teoria?
Risposte
E' molto semplice.
Devi solo ricordarti che l'affinità è bigettiva quindi
$f({A})=f(r\cap s)=f(r)\cap f(s)=r'\cap s'= {A'}$.
Analogamente le altre relazioni.
Devi solo ricordarti che l'affinità è bigettiva quindi
$f({A})=f(r\cap s)=f(r)\cap f(s)=r'\cap s'= {A'}$.
Analogamente le altre relazioni.
ti ringrazio,ma non capisco perché
$f(rnns)=f(r)nnf(s)$
essendo bigettiva oltre al fatto che ammette l'inversa non saprei come evincere ciò che è riportato sopra.So che un affinità è un isomorfismo su se stesso e che un isomorfismo è una relazione di equivalenza tra spazi affini,quindi rimane un isomorfismo l'identità,l'inversa e la composizione di isomorfismi,ma riguardo all'intersezione non ancora seguo...
in piu non capisco(forse c'entra anche questo) perché se ho due rette $r_1$ e $r_2$ le cui immagini sono rispettivamente l'asse $x$ e l'asse $y$ allora sussite che
$f(x,y)=(hr_1,kr_2)$ con $h,k$ parametri
$f(rnns)=f(r)nnf(s)$
essendo bigettiva oltre al fatto che ammette l'inversa non saprei come evincere ciò che è riportato sopra.So che un affinità è un isomorfismo su se stesso e che un isomorfismo è una relazione di equivalenza tra spazi affini,quindi rimane un isomorfismo l'identità,l'inversa e la composizione di isomorfismi,ma riguardo all'intersezione non ancora seguo...
in piu non capisco(forse c'entra anche questo) perché se ho due rette $r_1$ e $r_2$ le cui immagini sono rispettivamente l'asse $x$ e l'asse $y$ allora sussite che
$f(x,y)=(hr_1,kr_2)$ con $h,k$ parametri
"ballerina85":
ti ringrazio,ma non capisco perché
$f(rnns)=f(r)nnf(s)$
E' una uguaglianza fra insiemi.
E, a pensarci bene, per dimostrarla basta usare il fatto che $f$ è ingettiva.
Prova a dimostrarlo, verificando che ognuno dei due insiemi è contenuto nell'altro.
non so mi è venuto in mente questo ma di sicuro è quasi niente
mettiamo che i due insiemi siano $X$ e$Y$
se la loro intersezione è tale che $XnnY=a$ questo implica che l'intersezione dei loro trasformati sarà $f(X)nnf(Y)=f(a)$
applicando la $f$ a $XnnY=a$ diventa $f(XnnY)=barf(a)$
ora $f(a)=barf(a)$ perché essendo iniettiva la $f$ il trasformato di $a$ è unico.
..........mha
mettiamo che i due insiemi siano $X$ e$Y$
se la loro intersezione è tale che $XnnY=a$ questo implica che l'intersezione dei loro trasformati sarà $f(X)nnf(Y)=f(a)$
applicando la $f$ a $XnnY=a$ diventa $f(XnnY)=barf(a)$
ora $f(a)=barf(a)$ perché essendo iniettiva la $f$ il trasformato di $a$ è unico.
..........mha
Se $A' in f(r nn s)$ allora esiste $A\in r nn s$ tale che $f(A)=A'$. E allora $A'\in f(r) nn f(s)$ perché $A$ sta sia in $r$ che in $s$.
Quindi $f(r nn s)\subset f(r) nn f(s)$.
Viceversa se $A'\in f(r) nn f(s)$ allora esistono $R\in r$ e $S\in s$ tali che $A'=f(R)=f(S)$.
Dall'ingettività, $R=S\in r nn s$. Quindi $A'\in f(r nn s)$. Da ciò segue che $f(r) nn f(s)\subset f(r nn s)$.
Quindi $f(r nn s)\subset f(r) nn f(s)$.
Viceversa se $A'\in f(r) nn f(s)$ allora esistono $R\in r$ e $S\in s$ tali che $A'=f(R)=f(S)$.
Dall'ingettività, $R=S\in r nn s$. Quindi $A'\in f(r nn s)$. Da ciò segue che $f(r) nn f(s)\subset f(r nn s)$.
ti ringrazio per la dimostrazione.
potresti darmi anche un aiutino a dimostrare questo per favore?
"ballerina85":
se ho due rette $r_1$ e $r_2$ le cui immagini sono rispettivamente l'asse $x$ e l'asse $y$ allora sussite che
$f(x,y)=(hr_1,kr_2)$ con $h,k$ parametri
potresti darmi anche un aiutino a dimostrare questo per favore?
$f$ è sempre l'applicazione affine precedente?
Cosa si intende per $f(x,y)$?
$f$ manda punti del tuo affine in punti del piano affine.
Il secondo membro dell'uguaglianza non è un punto, nè un insieme di punti.
Non capisco cosa tu voglia dimostrare...
Cosa si intende per $f(x,y)$?
$f$ manda punti del tuo affine in punti del piano affine.
Il secondo membro dell'uguaglianza non è un punto, nè un insieme di punti.
Non capisco cosa tu voglia dimostrare...
faccio un esempio pratico
se ho un affinità $f:A^2(RR)->A^2(RR)$ tale che $f(r)=r'$, $f(s)=s'$ dove $r=2x-y-2=0$ ,$r=x+y-1=0$ ,$r'$ è l'asse $y$ ,$s'$ è l'asse $x$ ed$f(1,2)=(1,2)$,allora le affinità che rispettano le prime due condizioni hanno un'espressione fatta in questo modo $ { ( x'=k(2x-y-2) ),( y'=h(x+y-1) ):} $
con $k,h$ parametri che potranno essere determinati attraverso il passaggio del punto.(a prescindere che sia o no un punto fisso)
Il fatto è che non riesco a capire come ciò avviene e inoltre se si possa supporre solo se i trasformati siano gli assi
se ho un affinità $f:A^2(RR)->A^2(RR)$ tale che $f(r)=r'$, $f(s)=s'$ dove $r=2x-y-2=0$ ,$r=x+y-1=0$ ,$r'$ è l'asse $y$ ,$s'$ è l'asse $x$ ed$f(1,2)=(1,2)$,allora le affinità che rispettano le prime due condizioni hanno un'espressione fatta in questo modo $ { ( x'=k(2x-y-2) ),( y'=h(x+y-1) ):} $
con $k,h$ parametri che potranno essere determinati attraverso il passaggio del punto.(a prescindere che sia o no un punto fisso)
Il fatto è che non riesco a capire come ciò avviene e inoltre se si possa supporre solo se i trasformati siano gli assi
è possibile almeno sapere quali altri metodi esistono per determinare un affinità quando non si hanno tutti i punti con le corrispettive immagini (non allineati) che risolvono il sistema?
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