Proprietà delle basi.
Salve,
sto rileggendo le proprietà delle basi, in particolare:
Considerato un sistema di vettori $B$ di un sottoinsieme $X$ di vettori di uno spazio vettoriale $V(K)$, si ha che
$a)$ $B$ sistema linearmente indipendente massimale in $X$
$b)$ $B$ sistema linearmente indipendente di generatori di $X$
sul testo viene proposta la dimostrazione del caso $a) to b)$, mi chiedo se fosse possibile $b) to a) $
Sarei tentato a dire di no, poichè, dovrei aggiungere alle ipotesi che $B$ sia anche una base.
E' corretto ?
Ciao
sto rileggendo le proprietà delle basi, in particolare:
Considerato un sistema di vettori $B$ di un sottoinsieme $X$ di vettori di uno spazio vettoriale $V(K)$, si ha che
$a)$ $B$ sistema linearmente indipendente massimale in $X$
$b)$ $B$ sistema linearmente indipendente di generatori di $X$
sul testo viene proposta la dimostrazione del caso $a) to b)$, mi chiedo se fosse possibile $b) to a) $
Sarei tentato a dire di no, poichè, dovrei aggiungere alle ipotesi che $B$ sia anche una base.
E' corretto ?
Ciao
Risposte
Un "sistema linearmente indipendente di generatori" non è una perifrasi per dire base?
Che libro è Galles?
Che definizione da di un sistema di generatori?
Che definizione da di un sistema di generatori?
@Indrjo Dedej Veramente le basi di uno spazio vettoriale sono definibili in tre maniere equivalenti, che riporto di séguito:
[list=a]
[*:38zlc59v]sistema libero[nota]Modo equivalente per dire "linearmente indipendente".[/nota] massimale;[/*:m:38zlc59v]
[*:38zlc59v]sistema di generatori libero;[/*:m:38zlc59v]
[*:38zlc59v]sistema di generatori minimale.[/*:m:38zlc59v][/list:o:38zlc59v]
@galles90 Sì, si può dimostrare per (esempio con una) riduzione a un assurdo: sai cosa intendo dire?
[list=a]
[*:38zlc59v]sistema libero[nota]Modo equivalente per dire "linearmente indipendente".[/nota] massimale;[/*:m:38zlc59v]
[*:38zlc59v]sistema di generatori libero;[/*:m:38zlc59v]
[*:38zlc59v]sistema di generatori minimale.[/*:m:38zlc59v][/list:o:38zlc59v]
@galles90 Sì, si può dimostrare per (esempio con una) riduzione a un assurdo: sai cosa intendo dire?
Buongiorno,
@Indrjo Dedej è proprio quello che voglio dimostrare. Mi spiego meglio, riporto l'intera proposizione
Considerato un sistema di vettori $B$ di un sottoinsieme $X$ di vettori di uno spazio vettoriale $V(K)$, sono equivalenti le condizioni:
a) $B$ base di $X$
b) $B$ sistema linearmente indipendente massimale in $X$
c) $B$ sistema linearmente indipente di genetatori di $X$
d) $B$ sistema di generatori minimale di $X$
sul libro (@Bokonon Nicola Melone-Introduzione ai metodi dell'algebra lineare) viene proposta la seguente catena di implicazione
La definizione di base riportate sul libro è la seguente:
Si dice base o sistema linearmen indipendente di $V(K)$ ogni suo sistema linearmente indipendente di ordine massimo.
La prima implicazione $a) to b) $, risulta essere $b) to a)$ per definizione di base.
La terza implicazione $c) to d) $, risulta essere $d) to c)$, ho provato cosi:
Dimostrazione per assurdo
Se fosse $B$ linearmente dipendente, allora esiste un vettore $mathbf{u_i}$ di $B$, quindi i vettori rimanenti di $B$ possono essere espressi come combinazione lineare del vettore $mathbf{u_i}$, ossia, il vettore $mathbf{u_i}$, dipende linearmente dal sistema $T=B-{mathbf{u_i}}$.
Quindi abbiamo
allora
sono arrivato all'assurdità, essendo che $T$ è contenuto in un sistema di generatori di $X$.
Ora non sono sicuro se l'implicazione può esistere, e tanto meno qualora esistesse sia corretta la dimostrazione.
@Indrjo Dedej è proprio quello che voglio dimostrare. Mi spiego meglio, riporto l'intera proposizione
Considerato un sistema di vettori $B$ di un sottoinsieme $X$ di vettori di uno spazio vettoriale $V(K)$, sono equivalenti le condizioni:
a) $B$ base di $X$
b) $B$ sistema linearmente indipendente massimale in $X$
c) $B$ sistema linearmente indipente di genetatori di $X$
d) $B$ sistema di generatori minimale di $X$
sul libro (@Bokonon Nicola Melone-Introduzione ai metodi dell'algebra lineare) viene proposta la seguente catena di implicazione
$a) to b) to c) to d) to a)$
ora vorrei provare a vedere se ce ne sono altre. La definizione di base riportate sul libro è la seguente:
Si dice base o sistema linearmen indipendente di $V(K)$ ogni suo sistema linearmente indipendente di ordine massimo.
La prima implicazione $a) to b) $, risulta essere $b) to a)$ per definizione di base.
La terza implicazione $c) to d) $, risulta essere $d) to c)$, ho provato cosi:
Dimostrazione per assurdo
Se fosse $B$ linearmente dipendente, allora esiste un vettore $mathbf{u_i}$ di $B$, quindi i vettori rimanenti di $B$ possono essere espressi come combinazione lineare del vettore $mathbf{u_i}$, ossia, il vettore $mathbf{u_i}$, dipende linearmente dal sistema $T=B-{mathbf{u_i}}$.
Quindi abbiamo
$T subseteq B to [T] subseteq $
$B subseteq [T] to subseteq [T]$
allora
$[T]=$, cioè $[T]=X$
sono arrivato all'assurdità, essendo che $T$ è contenuto in un sistema di generatori di $X$.
Ora non sono sicuro se l'implicazione può esistere, e tanto meno qualora esistesse sia corretta la dimostrazione.
"j18eos":
@galles90 Sì, si può dimostrare per (esempio con una) riduzione a un assurdo: sai cosa intendo dire?
si ci sto provando, ho supposto per assurdo che il sistema $B$ è contenuto in un sistema linearmente indipendente, ossia $B subset B'$, dove $B'=B cup{mathbf{u_(n+1)}}.$
dovrei far vedere $B$ è L.D. ?
Se \( \mathcal{G} \) è un sistema di generatori e \(\mathcal{G} \varsubsetneq A\) allora \(A\) è per forza linearmente dipendente. Non è difficile da dimostrare. Prendi \(\mathbf{u}\in A \setminus \mathcal{G}\). Per ipotesi sai che \(\mathbf{u} = \sum_{i=1}^k \alpha_i \mathbf{g}_i\) per qualche \(g_i\in \mathcal{G}\) e \(\alpha_i\in \mathbb{R}\). Pertanto \(A\) contiene il sistema linearmente dipendente \(\{ \mathbf{u}, \mathbf{g}_1,\dotsc, \mathbf{g}_k \}\) ed è linearmente dipendente esso stesso. Dubbi?
Quindi se \(A\subset X\) è un sistema linearmente indipendenti e \( \mathcal{G} \) è un suo sottoinsieme che è anche sistema di generatori di \(X\), allora deve essere per forza \(\mathcal{G} = A\).
Quindi se \(A\subset X\) è un sistema linearmente indipendenti e \( \mathcal{G} \) è un suo sottoinsieme che è anche sistema di generatori di \(X\), allora deve essere per forza \(\mathcal{G} = A\).
ciao vict85, quale implicazione stai dimostrando quella che ho fatto, quindi dovrebbe risultare sbagliata, oppure, la $c) to b) $
È una considerazione generale. Ma può essere usata per dimostrare sia \((d) \rightarrow (c)\) che \((c)\rightarrow (b)\).
Penso che questo approccio sia usato quando si vogliono minimizzare i riferimenti agli elementi dello spazio. Tutte le proposizioni seguenti sono banali e non scrivo la dimostrazione.
Definizione 1: Un insieme è detto insieme di generatori di uno spazio vettoriale \(V\) se ogni elemento di \(V\) è combinazione lineare di elementi di quell'insieme.
Uso la notazione \(\langle W \rangle\) per indicare l'insieme generato da un insieme \(W\).
Proposizione 1: Sia \(G\) un insieme di generatori, e sia \(G \subset G'\). Allora \(G'\) è un insieme di generatori.
Definizione 2: Un insieme \(W\) si dice linearmente dipendente se \( W = \{\mathbb{0}\}\) oppure se esiste un suo sottoinsieme proprio \(G\varsubsetneq W\) tale che \(W \subseteq \langle G \rangle\). Un insieme è linearmente indipendente se non è linearmente dipendente.
Proposizione 2: Un insieme \(G\) di generatori non minimale è linearmente dipendente.
Proposizione 3: Nessun insieme \(X\) linearmente indipendente non massimale genera \(V\).
Proposizione 4: Ogni insieme minimale di generatori di uno spazio vettoriale non banale è linearmente indipendente (ovvio dalla definizione che ho usato di insieme linearmente indipendente).
La dimostrazione che "Ogni insieme \(W\) linearmente indipendente massimale genera l'intero spazio." è leggermente meno banale. Si deve infatti far vedere che \(\langle W \rangle\) contiene necessariamente ogni \(W'\varsupsetneq W\).
Definizione 1: Un insieme è detto insieme di generatori di uno spazio vettoriale \(V\) se ogni elemento di \(V\) è combinazione lineare di elementi di quell'insieme.
Uso la notazione \(\langle W \rangle\) per indicare l'insieme generato da un insieme \(W\).
Proposizione 1: Sia \(G\) un insieme di generatori, e sia \(G \subset G'\). Allora \(G'\) è un insieme di generatori.
Definizione 2: Un insieme \(W\) si dice linearmente dipendente se \( W = \{\mathbb{0}\}\) oppure se esiste un suo sottoinsieme proprio \(G\varsubsetneq W\) tale che \(W \subseteq \langle G \rangle\). Un insieme è linearmente indipendente se non è linearmente dipendente.
Proposizione 2: Un insieme \(G\) di generatori non minimale è linearmente dipendente.
Proposizione 3: Nessun insieme \(X\) linearmente indipendente non massimale genera \(V\).
Proposizione 4: Ogni insieme minimale di generatori di uno spazio vettoriale non banale è linearmente indipendente (ovvio dalla definizione che ho usato di insieme linearmente indipendente).
La dimostrazione che "Ogni insieme \(W\) linearmente indipendente massimale genera l'intero spazio." è leggermente meno banale. Si deve infatti far vedere che \(\langle W \rangle\) contiene necessariamente ogni \(W'\varsupsetneq W\).
Ragazzi, buongiorno.... vi ringrazio per le risposte.
Vi volevo dire che non ho avuto più il tempo di leggere con attenzione le vostre risposte...Quando si và all'università non si ha mai tempo per approfondire "almeno io".
Fra poco ci sarà l'interruzione degli studi, quindi riprenderò questo argomento, magari con un'altro post.
Vi ringrazio ancora per la disponibilità.
Ciao.
Vi volevo dire che non ho avuto più il tempo di leggere con attenzione le vostre risposte...Quando si và all'università non si ha mai tempo per approfondire "almeno io".
Fra poco ci sarà l'interruzione degli studi, quindi riprenderò questo argomento, magari con un'altro post.
Vi ringrazio ancora per la disponibilità.
Ciao.
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