Proprietà della matrice trasposta .

[previ91]

Ciao a tutti mi sono appena iscritto ...volevo chiedere c'è qualcuno così gentile che riesce a dimostrarmi questa semplice proprietà della matrice trasposta ?

Se A ∈ Mat (m,n) e B ∈ Mat (n,p) allora ===> (AB)^T = B^T A^T

Grazie.

[orazioster]

L'elemento $i$-$j$ esimo di $AB$ è
uguale al prodotto (scalare) della $i$-esima riga di $A$ per la $j$-esima colonna di $B$.

In $(AB)^T$ -l'elemento $i$-$j$-esimo è
uguale al prodotto della $j$-esima riga di $A$ per la $i$-esima colonna di $B$-perchè
è uguale all'elemento $j$-$i$-esimo di $AB$.

In $B^TA^T$ l'elemento $i$-$j$-esimo è
uguale al prodotto della $i$-esima riga di $B^T$ (-che è
uguale alla $i$-esima colonna di $B$) -per la $j$-esima colonna di $A^T$
(-che è uguale alla $j$-esima riga di $A$)

Così l'elemento $i$-$j$-esimo di $B^TA^T$ è uguale
al prodotto della $j$-esima riga di $A$ per la $i$-esima colonna di $B$
e così, come avevamo visto, è anche l'elemento $i$-$j$-esimo di $(AB)^T$.