Proprietà della dimensione.
Allora ragazzi. Non so se mi sono perso qualche passaggio fondamentale della geometria analitica ma penso che il motivo principale del perchè non riesco a capire la proprietà di una dimensione è che ancora non sono riuscito ad entrare nell'ottica della materia e mi serve qualcuno che abbia tatto per aiutarmi a capire magari con qualche esempio o semplicemente spiegando il tutto a parole povere perchè sto avendo veramente difficoltà.
Devo dimostrare che preso \(\displaystyle V \) uno spazio finitamente generato ( costituito da un numero finito di vettori, e già non ho capito a cosa mi serve fissare questa sorte di limitazione per dimostrare il tutto e se uno spazio finitamente generato ha qualche proprietà specifica), e sia \(\displaystyle W \)\(\displaystyle\subseteq \)\(\displaystyle BV\) un sottospazio. Allora la Dim(\(W)\leq(V) \)DIm e si ha l'eguaglianza se e solo se \(\displaystyle W=V \).
Dimostrazione: Una base \(\displaystyle I=(u_1...u_k) di W \) costituisce un insieme libero di \(\displaystyle V \). (Già qui mi sono perso perchè non ho capito il motivo, perchè costituisce un insieme libero di \(\displaystyle V \)?).
Dal lemma di steinitz segue che se \(\displaystyle I \) è un insieme libero, si può sempre trovare una base \(\displaystyle B^1 \) che contenga i vettori di \(\displaystyle I \) e questo implica che la Dim(\(W)=k \leq(V)Dim= n \). ( qui la mia domanda è: ma che significa trovare una base che contiene i vettori di \(\displaystyle I \) e che utilità ha tutto ciò? ).
Secondo poi il metodo del completamento ad una base si può completare ad una base \(\displaystyle B di V \). ( Ma più propriamente che significa completare ad una base di \(\displaystyle V \)? La definizione la capisco ma non riesco ad immaginare nella mia mente un esempio pratico che mi faccia capire il vero significato di questa cosa).
Si può completare ad una base \(\displaystyle B di V \) se e solo se \(\displaystyle la Dim(W)=Dim(V) \), cioè \(\displaystyle B \)ha la stessa dimensione di \(\displaystyle I \). (??????????) e allora deve necessariamente accadere che \(\displaystyle B=I \). Se ciò è vero, allora \(\displaystyle W= L(I)=L(B)=V \). ( cioè W dovrebbe essere uguale all'insieme delle combinazioni lineari di \(\displaystyle I \) che a sua volta deve essere uguale alle combinazioni lineari di \(\displaystyle B \) che a sua volta deve essere uguale a \(\displaystyle V?? \). Mio dio non ci ho capito veramente niente, mi appello alla vostra clemenza ragazzi.
Poi volevo sapere: Mi dice il libro di testo che questa proprietà è importante perchè: 1) ogni insieme libero di n elementi è una base di \(\displaystyle V \) ( significa che se dimostro che l'insieme è libero, cioè contiene solo vettori linearmente indipendenti è anche una base giusto??).
2) ogni insieme di n generatori è una base ( come si fa praticamente a verificare che un insieme è un insieme di n generatori ?). Ragazzi perdonate la mia confusione ma vi assicuro che è la stessa che ho in testa e se non capisco questi passaggi fondamentali della geometria mi perdo tutto il senso della materia e andando avanti non riesco a capire più niente. Grazie in anticipo. Help ME.
Devo dimostrare che preso \(\displaystyle V \) uno spazio finitamente generato ( costituito da un numero finito di vettori, e già non ho capito a cosa mi serve fissare questa sorte di limitazione per dimostrare il tutto e se uno spazio finitamente generato ha qualche proprietà specifica), e sia \(\displaystyle W \)\(\displaystyle\subseteq \)\(\displaystyle BV\) un sottospazio. Allora la Dim(\(W)\leq(V) \)DIm e si ha l'eguaglianza se e solo se \(\displaystyle W=V \).
Dimostrazione: Una base \(\displaystyle I=(u_1...u_k) di W \) costituisce un insieme libero di \(\displaystyle V \). (Già qui mi sono perso perchè non ho capito il motivo, perchè costituisce un insieme libero di \(\displaystyle V \)?).
Dal lemma di steinitz segue che se \(\displaystyle I \) è un insieme libero, si può sempre trovare una base \(\displaystyle B^1 \) che contenga i vettori di \(\displaystyle I \) e questo implica che la Dim(\(W)=k \leq(V)Dim= n \). ( qui la mia domanda è: ma che significa trovare una base che contiene i vettori di \(\displaystyle I \) e che utilità ha tutto ciò? ).
Secondo poi il metodo del completamento ad una base si può completare ad una base \(\displaystyle B di V \). ( Ma più propriamente che significa completare ad una base di \(\displaystyle V \)? La definizione la capisco ma non riesco ad immaginare nella mia mente un esempio pratico che mi faccia capire il vero significato di questa cosa).
Si può completare ad una base \(\displaystyle B di V \) se e solo se \(\displaystyle la Dim(W)=Dim(V) \), cioè \(\displaystyle B \)ha la stessa dimensione di \(\displaystyle I \). (??????????) e allora deve necessariamente accadere che \(\displaystyle B=I \). Se ciò è vero, allora \(\displaystyle W= L(I)=L(B)=V \). ( cioè W dovrebbe essere uguale all'insieme delle combinazioni lineari di \(\displaystyle I \) che a sua volta deve essere uguale alle combinazioni lineari di \(\displaystyle B \) che a sua volta deve essere uguale a \(\displaystyle V?? \). Mio dio non ci ho capito veramente niente, mi appello alla vostra clemenza ragazzi.
Poi volevo sapere: Mi dice il libro di testo che questa proprietà è importante perchè: 1) ogni insieme libero di n elementi è una base di \(\displaystyle V \) ( significa che se dimostro che l'insieme è libero, cioè contiene solo vettori linearmente indipendenti è anche una base giusto??).
2) ogni insieme di n generatori è una base ( come si fa praticamente a verificare che un insieme è un insieme di n generatori ?). Ragazzi perdonate la mia confusione ma vi assicuro che è la stessa che ho in testa e se non capisco questi passaggi fondamentali della geometria mi perdo tutto il senso della materia e andando avanti non riesco a capire più niente. Grazie in anticipo. Help ME.
Risposte
Ciao! Allora, provo a fare un po' di chiarezza nella tua mente! 
Come esempio pratico nella mia testa ho sempre usato questo: pensavo che lo spazio vettoriale V fosse $R^3$ e prendevo come suo sottospazio vettoriale W un piano, ad esempio il piano xy. In questo modo puoi visualizzare il tuo spazio vettoriale come un semplice spazio tridimensionale con 3 assi cartesiani ortogonali, e un suo sottospazio come un qualsiasi piano.
1) Visto che $I$ è una base di W, e W è contenuto in V allora per forza la base di W deve essere contenuta in V, ossia $I$ dev'essere un insieme libero di V. Infatti se V fosse $R^3$ una base per V potrebbero essere i tre vettori: $e_1=(1, 0, 0)$ $e_2=(0, 1, 0)$ ed $e_3=(0, 0, 1)$. Mentre un insieme libero è per un sottospazio W pensavo come un piano potrebbero essere solamente i primi 2 vettori $e_1$ ed $e_2$. Quindi ti rendi conto che se prendi un insieme libero di vettori di W, questi vettori dovranno essere contenuti in V, perché W è contenuto in V, e quindi sarà un insieme libero di V.
2) Una base di uno spazio vettoriale è un insieme ordinato di vettori linearmente indipendenti che generano tutto lo spazio. Ossia ogni vettore dello spazio potrà essere espresso come combinazione lineare dei vettori della base. Quindi se tu trovi una base $B^i$ che contiene la base $I$, allora in numero di vettori che costituiscono $B^i$ sarà sicuramente $>=$ al numero di vettori che costituisce la base $I$. Visto che il numero di vettori di una base non è altro che la dimensione dello spazio, allora segue che $dim(W)<=dim(V)$.
3) Completare una base significa aggiungere dei vettori ad una base, in modo che essa diventi una base per uno spazio vettoriale più "grande". Ad esempio, se W è il sottospazio generato da $e_1=(1, 0, 0)$ ed $e_2=(0, 1, 0)$, i vettori e1 ed e2 sono una base, che può essere completata ad esempio col vettore $e_3=(0, 0, 1)$. In questo modo, partendo da una base di un sottospazio vettoriale W hai ottenuto una base per lo spazio vettoriale V. In pratica è come se tu avessi un piano, $R^2$, che vive in 3 dimensioni, e ci aggiungi un vettore ortogonale, in modo da coprire tutto lo spazio tridimensionale.
4) Se hai una base di uno spazio vettoriale, tutti i vettori di quello spazio sono dati dalle combinazioni lineari dei vettori della base, perciò la combinazione lineare dei vettori della base ti dà tutto lo spazio, perché ti genera ogni suo elemento. Perciò se $I=B$, allora W sarà generato dalla base $I$, ma questa base è uguale a $B$, perciò W sarà uguale a ciò che viene generato dalla base $B$. Ma ciò che viene generato dalla base $B$ è V, perciò B=V.
5)Vero, a patto che lo spazio di cui stai parlando abbia dimensione n, allora se trovi n vettori linearmente indipendenti questa sarà una base.
6) Per scoprire se un insieme di vettori è una base per uno spazio vettoriale bisogna vedere se sono linearmente indipendenti. Il modo più classico è costruire una matrice con dei vettori dati, mettendo al posto delle righe (o delle colonne, non cambia) i vettori e andando a calcolare il determinante. Se questo è diverso da 0, allora i vettori sono indipendenti, altrimenti almeno uno è dipendente dagli altri.
Spero di esserti stato d'aiuto!
Come esempio pratico nella mia testa ho sempre usato questo: pensavo che lo spazio vettoriale V fosse $R^3$ e prendevo come suo sottospazio vettoriale W un piano, ad esempio il piano xy. In questo modo puoi visualizzare il tuo spazio vettoriale come un semplice spazio tridimensionale con 3 assi cartesiani ortogonali, e un suo sottospazio come un qualsiasi piano.
1) Visto che $I$ è una base di W, e W è contenuto in V allora per forza la base di W deve essere contenuta in V, ossia $I$ dev'essere un insieme libero di V. Infatti se V fosse $R^3$ una base per V potrebbero essere i tre vettori: $e_1=(1, 0, 0)$ $e_2=(0, 1, 0)$ ed $e_3=(0, 0, 1)$. Mentre un insieme libero è per un sottospazio W pensavo come un piano potrebbero essere solamente i primi 2 vettori $e_1$ ed $e_2$. Quindi ti rendi conto che se prendi un insieme libero di vettori di W, questi vettori dovranno essere contenuti in V, perché W è contenuto in V, e quindi sarà un insieme libero di V.
2) Una base di uno spazio vettoriale è un insieme ordinato di vettori linearmente indipendenti che generano tutto lo spazio. Ossia ogni vettore dello spazio potrà essere espresso come combinazione lineare dei vettori della base. Quindi se tu trovi una base $B^i$ che contiene la base $I$, allora in numero di vettori che costituiscono $B^i$ sarà sicuramente $>=$ al numero di vettori che costituisce la base $I$. Visto che il numero di vettori di una base non è altro che la dimensione dello spazio, allora segue che $dim(W)<=dim(V)$.
3) Completare una base significa aggiungere dei vettori ad una base, in modo che essa diventi una base per uno spazio vettoriale più "grande". Ad esempio, se W è il sottospazio generato da $e_1=(1, 0, 0)$ ed $e_2=(0, 1, 0)$, i vettori e1 ed e2 sono una base, che può essere completata ad esempio col vettore $e_3=(0, 0, 1)$. In questo modo, partendo da una base di un sottospazio vettoriale W hai ottenuto una base per lo spazio vettoriale V. In pratica è come se tu avessi un piano, $R^2$, che vive in 3 dimensioni, e ci aggiungi un vettore ortogonale, in modo da coprire tutto lo spazio tridimensionale.
4) Se hai una base di uno spazio vettoriale, tutti i vettori di quello spazio sono dati dalle combinazioni lineari dei vettori della base, perciò la combinazione lineare dei vettori della base ti dà tutto lo spazio, perché ti genera ogni suo elemento. Perciò se $I=B$, allora W sarà generato dalla base $I$, ma questa base è uguale a $B$, perciò W sarà uguale a ciò che viene generato dalla base $B$. Ma ciò che viene generato dalla base $B$ è V, perciò B=V.
5)Vero, a patto che lo spazio di cui stai parlando abbia dimensione n, allora se trovi n vettori linearmente indipendenti questa sarà una base.
6) Per scoprire se un insieme di vettori è una base per uno spazio vettoriale bisogna vedere se sono linearmente indipendenti. Il modo più classico è costruire una matrice con dei vettori dati, mettendo al posto delle righe (o delle colonne, non cambia) i vettori e andando a calcolare il determinante. Se questo è diverso da 0, allora i vettori sono indipendenti, altrimenti almeno uno è dipendente dagli altri.
Spero di esserti stato d'aiuto!
"akos070191":
Devo dimostrare che preso \(\displaystyle V \) uno spazio finitamente generato (costituito da un numero finito di vettori, e già non ho capito a cosa mi serve fissare questa sorte di limitazione per dimostrare il tutto e se uno spazio finitamente generato ha qualche proprietà specifica), e sia \(\displaystyle W \subseteq V\) un sottospazio. Allora \(\dim(W)\leq \dim(V) \) e si ha l'eguaglianza se e solo se \( W=V \).
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