Proprietà del determinante

[Plepp]

Sia $\mathbb{K}$ un campo e $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$. Sul Sernesi (che con $\mathbb{K}$ denota un sottocampo di $CC$) leggo: "se $A$ ha due righe uguali, allora $\det A=0$".

Dando un'occhiata alla dimostrazione di questa proprietà, mi sembra che rimanga valida se $\mathbb{K}$ è un campo qualsiasi, purché abbia caratteristica diversa da $2$. Dico bene?

Grazie in anticipo

[Kashaman]

Mi sembra di si :/ Vale per qualsiasi campo.

[Plepp]

Hai detto due cose che si contraddicono a vicenda xD io dico che non vale per qualsiasi campo!

[killing_buddha]

Perche' in caratteristica due dovrebbe essere falso?

[j18eos]

A parte che il determinante lo puoi definire per una matrice a coefficienti in un qualsiasi anello commutativo (unitario), le proprietà del determinate elencate (tra cui quella che affermi) non dipendono dalla caratteristica o da altro.

Ricordati la definizione di caratterisitica...

[Plepp]

"killing_buddha":Perche' in caratteristica due dovrebbe essere falso?

Perché nella dimostrazione che sta su Sernesi $\det A=0$ è implicato da
\[\det A=-\det A\tag{1}\]
Ergo, se siamo in caratteristica $2$, non necessariamente $\det A=0$.

Non so se la dimostrazione si possa fare in un altro modo, che non utilizzi la $(1)$ e quindi permetta di concludere che la proprietà vale qualunque sia il campo di "supporto".

[j18eos]

Che strana dimostrazione... io conosco una dimostrazione in cui si fa tutto a mano!

[Plepp]

@armando: Mi sapresti dare un riferimento?

[Kashaman]

Prova a vedere questa : Lemma 6.9.4 pagina 358 - Herstein.

(Non fa uso della nozione di caratteristica.. a "piè di lemma" si legge che vale anche se la caratteristica è 2)

[Plepp]

Grazie Kash in effetti non riuscivo a trovare esempi di matrici $3\times 3$ a coefficienti in $ZZ_2$ che violassero la suddetta proprietà.

[j18eos]

@Plepp Se utilizzi la formula di Laplace (i.e. coi minori) puoi dimostrarlo per induzione; se utilizzi la formula grezza con le permutazioni degli indici, si tratta allora di un calcolo a mano.

Fonte: la mia testa; non è una biblioteca ma sicuramente non è un riferimento bibliografico.

[Plepp]

"j18eos":@Plepp Se utilizzi la formula di Laplace (i.e. coi minori) puoi dimostrarlo per induzione; se utilizzi la formula grezza con le permutazioni degli indici, si tratta allora di un calcolo a mano.

A Laplace non ho pensato perché "cronologicamente" viene dopo, almeno su Sernesi. A mano (o meglio, lavorando sulla definizione*) non lo farò mai!

Grazie comunque
_________________________________
*per definizione intendo quella che tu hai chiamato formula grezza. A quanto pare - mi ci sto appassionando - il determinante può esser definito in millemila modi

[j18eos]

Guarda che il calcolo a mano, a ben vedere si fà in 2 battute, massimo 3

[Plepp]

Eggià! hai ragione, mi sono lasciato intimorire dalla formula