Proprietá dei piani

[Mattecitta]

Dati tre piani $a_1$, $a_2$ , $a_3$ in R 3 , se $a_1$ $nn $ $a_2$ $!=$ $\phi $ ,
$a_2$ $nn $ $a_3$ $!=$ $\phi $ ,
$a_1$ $nn $ $a_3$ $!=$ $\phi $
Allora il sistema dato dalle loro tre equazioni ha almeno una soluzione. Vero o falso ?
Se mi potete spiegare il perché e un link dove posso trovare spiegazioni per questo tipo di argomento che non riesco a trovare nulla
Grazie in anticipo

[billyballo2123]

Falso! Non so dirti dove reperire la spiegazione, però basta usare un po' di immaginazione. Basta immaginarti tre piani un cui il primo si intersechi con il secondo, il secondo con il terzo, il terzo con il primo e che non abbiano nessun punto in comune. Se lo vuoi in formule, poni $a_1=\{z=0\}$, $a_2=\{y=0\}$ e $a_3=\{y=-z+1\}$.
Il sistema
\[
\left\{
\begin{array}{l}
z=0 \\
y=0 \\
y+z-1=0
\end{array}
\right.
\]
chiaramente non ha soluzioni, però $a_1\cap a_2\ne\emptyset$ (contiene l'origine), $a_2\cap a_3\ne\emptyset$ (contiene $(0,0,1)$) e infine $a_3\cap a_1\ne\emptyset$ (contiene $(0,1,0)$).