Proprietà dei determinanti e rango

[Cantor99]

Ho un altro problema: voglio dimostrare che "per ogni $A\in K^(n,n)$ sono equivalenti
$ (i) rg(A)=n$
$ (ii) det(A)!=0$
$ (iii)$ le righe di $A$ sono linearmente indipendenti"
Dimostrazione
$(i) =>(ii)$ la matrice $A$ è equivalente ad una matrice $T$ ridotta. Se $rg(A)=n$, $T$ ha $n$ pivot e $0!=det(T)=det(A)$;
$(ii) =>(iii)$ le proprietà dei determinanti mi dicono che se le righe sono l.d allora $det(A)=0$, quindi se $det(A)!=0$ le righe di $A$ sono l.i
$(iii) =>(i)$ se le righe di $A$ sono linearmente indipendenti, $rg(A)=n$

Ora, anche se non mi serve perché me lo assicura questa Proposizione, vorrei provare che $(iii) => (ii)$. Come potrei fare (senza il teorema degli orlati perché con questa proprietà lo dimostro ma con ad esempio il fatto che $A\in GL(n,K)<=>det(A)!=0$)?

Scusate la confusione e grazie in anticipo

[killing_buddha]

Se le righe di $A$ sono linearmente indipendenti, le righe di $A$ formano una base di $K^n$; quindi $A$ è invertibile (ci sono diversi modi di costruire, sapendo solo questa condizione sulle sue righe, una matrice $A^\star$ che le faccia da inversa). Ma il determinante è moltiplicativo! $\det(A^\star)={\det A}^{-1}$, la qual cosa implica che $\det A$ sia invertibile in $K$, cioè che (siccome $K$ è un campo) non sia zero.

[Cantor99]

Grazie @killingbuddha