Proprietà degli autovalori
Buonasera.
Ho una domanda da porre riguardo gli autovalori di un'applicazione composta:
so che, se "elevo alla $n$" un'applicazione lineare essa ammetterà $\lambda^n$ tra i suoi autovalori e, se moltiplico per $t$ un'applicazione lineare essa ammetterà $t*\lambda$ tra i suoi autovalori. Giusto?
Nel caso però in cui io effettui la composizione di due applicazioni lineari, c'è modo di determinare gli autovalori risultanti a partire dalla conoscenza di quelli di partenza?
Grazie mille!
Ho una domanda da porre riguardo gli autovalori di un'applicazione composta:
so che, se "elevo alla $n$" un'applicazione lineare essa ammetterà $\lambda^n$ tra i suoi autovalori e, se moltiplico per $t$ un'applicazione lineare essa ammetterà $t*\lambda$ tra i suoi autovalori. Giusto?
Nel caso però in cui io effettui la composizione di due applicazioni lineari, c'è modo di determinare gli autovalori risultanti a partire dalla conoscenza di quelli di partenza?
Grazie mille!
Risposte
In generale no!
Esempio: Considera \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\); la prima matrice non è diagonalizzabile, mentre la seconda matrice è diagonalizzabile (su \(\displaystyle\mathbb{R}\)). Adesso considera \(\displaystyle C=A\times B=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\), questa è una matrice diagonalizzabile.
Non capisco se questo esempio possa aiutarti...
Esempio: Considera \(\displaystyle A=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
-1 & 0
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
0 & 1\\
1 & 0
\end{pmatrix}\); la prima matrice non è diagonalizzabile, mentre la seconda matrice è diagonalizzabile (su \(\displaystyle\mathbb{R}\)). Adesso considera \(\displaystyle C=A\times B=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}\), questa è una matrice diagonalizzabile.
Non capisco se questo esempio possa aiutarti...
Ciao j18eos!
Grazie, in effetti anche avevo qualche dubbio in merito.
Ho posto questa domanda perchè, sulla dispensa del mio corso, è scritto che (ma magari a questo punto ne ho semplicemente frainteso il contenuto), dato un autovalore $lambda$ di $f$ con auto spazio associato $V(lambda)$ allora l'applicazione $Q(f)inEnd(V)$ ammette tra i suoi autovalori $Q(lambda)$ e l'autopazio associato $VQ(lambda)$ contiene $V(lambda)$.
Potresti per favore spiegarmi questa affermazione?
Grazie mille!
Grazie, in effetti anche avevo qualche dubbio in merito.
Ho posto questa domanda perchè, sulla dispensa del mio corso, è scritto che (ma magari a questo punto ne ho semplicemente frainteso il contenuto), dato un autovalore $lambda$ di $f$ con auto spazio associato $V(lambda)$ allora l'applicazione $Q(f)inEnd(V)$ ammette tra i suoi autovalori $Q(lambda)$ e l'autopazio associato $VQ(lambda)$ contiene $V(lambda)$.
Potresti per favore spiegarmi questa affermazione?
Grazie mille!
Le altre due proprietà che ho denunciato invece sono giuste, vero?
Grazie ancora!
Grazie ancora!
*enunciato, scusami per il correttore!
Ah, sì: le altre proprietà (d)enunziate sono corrette! 
Sapresti dimostrarle da te?
Sapresti dimostrarle da te?
Penso che il modo più semplice per farlo sia ragionare sulla matrice diagonale che contiene gli autovalori, moltiplicandola per uno scalare e componendola con se stessa.
Mi potresti però spiegare per favore cosa significhi l'enunciato sull'applicazione $Q(f)$ e come questo influisce sull'autovalore $lambda$ facendolo diventare $Q(lambda)$.
Mi sembrava di aver capito che fosse riferito alla composizione, se così non è mi potresti spiegare cosa significa esattamente perchè non l'ho capito.
Grazie ancora per il tempo dedicatomi!
Mi potresti però spiegare per favore cosa significhi l'enunciato sull'applicazione $Q(f)$ e come questo influisce sull'autovalore $lambda$ facendolo diventare $Q(lambda)$.
Mi sembrava di aver capito che fosse riferito alla composizione, se così non è mi potresti spiegare cosa significa esattamente perchè non l'ho capito.
Grazie ancora per il tempo dedicatomi!
Cosa intendi con $Q(f)$?
Veramente non ne sono sicuro, infatti ho chiesto a voi pensando di essere io a non capire cosa volesse dire...
Nella mia dispensa c'è scritto solo che:
Sia $lambda$ autovalore di $f$ con autospazio associato $V(lambda)$. Allora l'applicazione $Q(f)inEnd(V)$ ammette $Q(lambda)$ tra i suoi autovalori e l'autospazio associato $VQ(lambda)$
contiene $V(lambda)$.
Altro non c'è scritto.
Purtroppo non ho modo di mettermi in contatto con il docente per chiederglielo e quindi ho aperto questa discussione per capire se qualcuno sapeva interpretarlo.
Voi cosa ne pensate?
Grazie ancora per l'aiuto!
Nella mia dispensa c'è scritto solo che:
Sia $lambda$ autovalore di $f$ con autospazio associato $V(lambda)$. Allora l'applicazione $Q(f)inEnd(V)$ ammette $Q(lambda)$ tra i suoi autovalori e l'autospazio associato $VQ(lambda)$
contiene $V(lambda)$.
Altro non c'è scritto.
Purtroppo non ho modo di mettermi in contatto con il docente per chiederglielo e quindi ho aperto questa discussione per capire se qualcuno sapeva interpretarlo.
Voi cosa ne pensate?
Grazie ancora per l'aiuto!
Non è una notazione universale, prova a leggere le pagine precedenti, sicuramente viene chiarita la notazione.
Va bene, comunque potrei farvi un'altra domanda, banale ma solo per sicurezza: se un esercizio chiede di determinare autovalori e autospazi di un'applicazione $f$, chiaramente essi sono equivalenti a quelli della dua matrice rappresentativa (non importa rispetto a quali basi, ortonormali o meno, perchè il polinomio caratteristico (e di conseguenza gli autovalori e gli autospazi) è un invariante), giusto?
Grazie ancora!
Grazie ancora!
Sì quello che hai scritto nell'ultimo messaggio è giusto, gli autovalori sono gli stessi e naturalmente gli autospazi sono gli stessi ma scritti nella base scelta.
Penso che con $Q(f)$ intenda $f^2$, cioè la composizione tra $f$ e $f$. Confermi?
Penso che con $Q(f)$ intenda $f^2$, cioè la composizione tra $f$ e $f$. Confermi?
Grazie per la conferma!
Purtroppo non credo intendesse quello che hai scritto tu, perchè quest'altra proprietà viene enunciata precedentemente nella dispensa (e quindi non avrebbe senso ripetersi).
Forse intendeva semplicemente dire che, se io compongo un'applicazione $f$ con un'altra $Q$ posso ricavare gli autovalori dell'applicazione $Q(f)$ tramite la conoscenza di quelli di partenza (effettuando il prodotto riga per colonna, equivalente alla composizione nell'ambito delle matrici rappresentative, tra le due matrici diagonali di partenza).
Secondo voi può avere senso?
Grazie!
Un'ultima domanda: mi potreste dare una spiegazione formale del perchè calcolare gli autovalori della matrice permette di determinare anche quelli dell'applicazione lineare da essa rappresentata (la domanda che ho fatto prima), pensavo già fosse così e me lo avete confermato, però, in un esame, il testo dava una matrice $A$ dicendo che era la matrice rappresentativa di un'applicazione $f$ (che, invece, non specificava) e poi chiedeva, in due punti distinti, di calcolare gli autovalori e autospazi prima di $A$ e poi di $f$, motivando le risposte. Mi potreste dunque aiutare a trovare una spiegazione formale del perchè i due risultati sono equivalenti?
Grazie mille!
Purtroppo non credo intendesse quello che hai scritto tu, perchè quest'altra proprietà viene enunciata precedentemente nella dispensa (e quindi non avrebbe senso ripetersi).
Forse intendeva semplicemente dire che, se io compongo un'applicazione $f$ con un'altra $Q$ posso ricavare gli autovalori dell'applicazione $Q(f)$ tramite la conoscenza di quelli di partenza (effettuando il prodotto riga per colonna, equivalente alla composizione nell'ambito delle matrici rappresentative, tra le due matrici diagonali di partenza).
Secondo voi può avere senso?
Grazie!
Un'ultima domanda: mi potreste dare una spiegazione formale del perchè calcolare gli autovalori della matrice permette di determinare anche quelli dell'applicazione lineare da essa rappresentata (la domanda che ho fatto prima), pensavo già fosse così e me lo avete confermato, però, in un esame, il testo dava una matrice $A$ dicendo che era la matrice rappresentativa di un'applicazione $f$ (che, invece, non specificava) e poi chiedeva, in due punti distinti, di calcolare gli autovalori e autospazi prima di $A$ e poi di $f$, motivando le risposte. Mi potreste dunque aiutare a trovare una spiegazione formale del perchè i due risultati sono equivalenti?
Grazie mille!
Sarebbe meglio che tu ci mostrassi il testo originale dei quesiti (quelli su $A$ e $f$), altrimenti è difficile. Voglio dire che potremmo rischiare di basarci su tuoi ricordi potenzialmente imprecisi.
Su $Q(f)$ sono sicuro che non sia la composizione tra $Q$ e $f$, anche perché poi hai scritto $Q(lambda)$, e questo cosa sarebbe? Forse intendi $Q(v)$?
Su $Q(f)$ sono sicuro che non sia la composizione tra $Q$ e $f$, anche perché poi hai scritto $Q(lambda)$, e questo cosa sarebbe? Forse intendi $Q(v)$?
Grazie ancora, il testo ce lo farò leggere non appena l'avrò ritrovato...
Purtroppo no, sulla dispensa c'è scritto esplicitamente $Q(lambda)$...
Purtroppo no, sulla dispensa c'è scritto esplicitamente $Q(lambda)$...
Per quanto riguarda la composizione, certamente mi fido del fatto che, se mi dici che non è così, allora non sia così.
Però, come discorso generale (distaccandosi un attimo dalla dispensa) in teoria è corretto, no?
Se io ho un'applicazione $f$ con matrice diagonale $F=[[a,0],[0,b]]$ e un'applicazione $g$ con matrice diagonale $G=[[c,0],[0,d]]$, se io definisco $r=g(f)$ è equivalente a fare $R=F*G=[[ac,0],[0,bd]]$ e quindi gli autovalori di $r$ sono il prodotto di quelli di $f$ e $g$.
Al di là della proprietà enunciata nella dispensa (sulla quale, ripeto, mi fido del tuo giudizio, sicuramente più competente del mio) questo mio ragionamento è corretto?
Grazie ancora!
Però, come discorso generale (distaccandosi un attimo dalla dispensa) in teoria è corretto, no?
Se io ho un'applicazione $f$ con matrice diagonale $F=[[a,0],[0,b]]$ e un'applicazione $g$ con matrice diagonale $G=[[c,0],[0,d]]$, se io definisco $r=g(f)$ è equivalente a fare $R=F*G=[[ac,0],[0,bd]]$ e quindi gli autovalori di $r$ sono il prodotto di quelli di $f$ e $g$.
Al di là della proprietà enunciata nella dispensa (sulla quale, ripeto, mi fido del tuo giudizio, sicuramente più competente del mio) questo mio ragionamento è corretto?
Grazie ancora!
"mau21":Questo è falso in generale, per esempio
gli autovalori di $r$ sono il prodotto di quelli di $f$ e $g$.
$((2,0),(0,0)) * ((0,0),(0,3)) = ((0,0),(0,0))$
Come vedi le matrici qui sopra hanno $2$ e $3$ come autovalori (rispettivamente) ma il loro prodotto è la matrice nulla e non ha $2*3=6$ come autovalore.
Va bene, grazie ancora
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