Proprieta associativa delle matrici
Ciao, ho un incomprensione sulla dimostrazione di tale proprieta
"Siano A,B,C matrici di ordini $(m*n),(n*p),(p*q)$. L elemento i,j-esimo del prodoto AB e dato da: $sum_{k=1}^{n}a_(i,k)b_(k,j)$ con $i=1,2.....m$ e $j=1,2....p$. Quindi l elemento i,h-esimo della matrice (AB)C e:
$sum_{j=1}^{p}(sum_{k=1}^{n}a_(i,k)b_(k,j))c_(j,h)=sum_{k=1}^{n}a_(i,k)(sum_{j=1}^{n}b_(k,j)c_(j,h))$ con $h=1,2.....q$"
come mai in questa uguaglianza ho potuto portare fuori dalla sommatoria i termini $a_(i,k)$?come si fanno le operazioni con le sommatorie? nel secondo membro dell ultima uguaglianza e giusto che la sommatoria vada da j=1 fino a n??o dovrebbe andare fino a p?
spero qualcuno possa dirmi qualcosa....
grazie ciao!
"Siano A,B,C matrici di ordini $(m*n),(n*p),(p*q)$. L elemento i,j-esimo del prodoto AB e dato da: $sum_{k=1}^{n}a_(i,k)b_(k,j)$ con $i=1,2.....m$ e $j=1,2....p$. Quindi l elemento i,h-esimo della matrice (AB)C e:
$sum_{j=1}^{p}(sum_{k=1}^{n}a_(i,k)b_(k,j))c_(j,h)=sum_{k=1}^{n}a_(i,k)(sum_{j=1}^{n}b_(k,j)c_(j,h))$ con $h=1,2.....q$"
come mai in questa uguaglianza ho potuto portare fuori dalla sommatoria i termini $a_(i,k)$?come si fanno le operazioni con le sommatorie? nel secondo membro dell ultima uguaglianza e giusto che la sommatoria vada da j=1 fino a n??o dovrebbe andare fino a p?
spero qualcuno possa dirmi qualcosa....
grazie ciao!
Risposte
Ha scambiato le sommatorie e ha tirato fuori il termine $a_{i,k}$ dalla sommatoria che ha come indice $j$.
quale logica si segue per scambiare una sommatoria?scambio e basta?
nn ho capito se e giusto j che va da 1 a n nella sommatoria a secondo membro e se si perche..
nn ho capito se e giusto j che va da 1 a n nella sommatoria a secondo membro e se si perche..
Si, si può fare. Cerca di visualizzare ciò che c'è dentro le parentesi e chi moltiplica che cosa, e prova a convincerti che quello che hai scritto è vero.
Si possono scambiare le sommatorie perché sono due operatori lineari, e perché vale la proprietà della moltiplicazione che è distributiva rispetto alla somma.
Per convincerti prova con un caso finito, verifica che
$\sum_{j=1}^{3} (\sum_{k=1}^{2} a_{i,k} b_{k,j}) c_{j,h}$
è uguale a
$\sum_{k=1}^{2} a_{i,k} (\sum_{j=1}^{3} b_{k,j}c_{j,h})$
Per convincerti prova con un caso finito, verifica che
$\sum_{j=1}^{3} (\sum_{k=1}^{2} a_{i,k} b_{k,j}) c_{j,h}$
è uguale a
$\sum_{k=1}^{2} a_{i,k} (\sum_{j=1}^{3} b_{k,j}c_{j,h})$
ma un po lo vedo che posso portare fuori la $a_(i,k)$...per la definizione del prodotto di matrici (una matrice deve avere un numero di colonne uguali al numero di righe dell altra matrice) pero nn capisco quell indice n del secondo membro dell uguaglianza, io avrei lasciato p. O meglio io qua $sum_{k=1}^{n}a_(i,k)(sum_{j=1}^{n}b_(k,j)c_(j,h))$ avrei scritto $sum_{k=1}^{n}a_(i,k)(sum_{j=1}^{p}b_(k,j)c_(j,h))$
Infatti ci vuole $p$, non me ne ero accorto prima... Se era questo il tuo dubbio sei a posto, ci vuole $p$.
si il mio dubbio era quello...grazie!
ho un altra incomprensione pero...riguardo ai determinanti:
sulle mie dispense trovo la definizione del determinante nel seguente modo: "sia A una matrice quadrata di ordine n. Il determinante di A e il numero dato dalla somma del prodotto di n elementi presi uno in ogni riga e mai due nella stessa colonna, preceduto dal segno + o - a seconda che la permutazione degli indici di colonna sia pari o dispari"
Come definizione di permutazione dispari e pari ci e stato detto che le permutazioni dispari sono quelle che richiedono un numero dispari di scambi per essere riportate alla permutazione naturale e quelle pari richiedono un numero di scambi pari.
Cio che nn capiesco e: come si fanno le permutazioni degli indici di colonna?o cosa s intende?
ho un altra incomprensione pero...riguardo ai determinanti:
sulle mie dispense trovo la definizione del determinante nel seguente modo: "sia A una matrice quadrata di ordine n. Il determinante di A e il numero dato dalla somma del prodotto di n elementi presi uno in ogni riga e mai due nella stessa colonna, preceduto dal segno + o - a seconda che la permutazione degli indici di colonna sia pari o dispari"
Come definizione di permutazione dispari e pari ci e stato detto che le permutazioni dispari sono quelle che richiedono un numero dispari di scambi per essere riportate alla permutazione naturale e quelle pari richiedono un numero di scambi pari.
Cio che nn capiesco e: come si fanno le permutazioni degli indici di colonna?o cosa s intende?
Prendi $a_(ij)$ se $i + j$ è dispari cambi di segno
e una permutazione i+j?perche a me hanno fatto vedere che nn so ho (1,2,3) e (3,2,1). Quest ultima e una permutazione dispari perche devo fare un scambio per tornare a (1,2,3). Ora vedermi i+j mi confonde...
Scusa non mi sono spiegato bene
$a_(ij)$ è il generico elemento di una matrice, $i$ è l'indice di riga mentre $j$ è l'indice di colonna
$a_(ij)$ è il generico elemento di una matrice, $i$ è l'indice di riga mentre $j$ è l'indice di colonna
Provo a spiegartelo in una altro modo: data una matrice $A$, si definisce minore complementare dell'elemento $a_{i,j}$, e si indica con $m_{i,j}$, il determinante della sottomatrice ottenuta cancellando l'i-esima riga e la j-esima colonna.
Si definisce complemento algebrico dell'elemento $a_{i,j}$ la quantità $c_{i,j} = (-1)^{i+j} \cdot a_{i,j} \cdot m_{i,j}$.
Il determinante di una matrice è la somma dei complementi algebrici di una riga o di una colonna, non importa quale, basta sceglierne una.
Come vedi il determinante è definito in modo ricorsivo, considerando che il determinante di un numero è il numero stesso, e quindi che il determinante della matrice $((a,b),(c,d))$ è $ad-bc$.
PS: non mi ricordo se effettivamente si chiamano minore complementare e complemento algebrico le quantità che ti ho detto, ma prendendo per buoni questi nomi, il metodo che ti ho detto per calcolare il determinante è giusto.
PS2: non avevo letto le tue risposte bestplace
Si definisce complemento algebrico dell'elemento $a_{i,j}$ la quantità $c_{i,j} = (-1)^{i+j} \cdot a_{i,j} \cdot m_{i,j}$.
Il determinante di una matrice è la somma dei complementi algebrici di una riga o di una colonna, non importa quale, basta sceglierne una.
Come vedi il determinante è definito in modo ricorsivo, considerando che il determinante di un numero è il numero stesso, e quindi che il determinante della matrice $((a,b),(c,d))$ è $ad-bc$.
PS: non mi ricordo se effettivamente si chiamano minore complementare e complemento algebrico le quantità che ti ho detto, ma prendendo per buoni questi nomi, il metodo che ti ho detto per calcolare il determinante è giusto.
PS2: non avevo letto le tue risposte bestplace
ok ok ma la regola che mi hai dato su la sapevo...e che nn capisco quali sono le permutazioni da fare...
ok ma queste cose le ho capite...scusatemi se sono duro di comprendonio....dove sono le permutazioni degli indici di colonna in questo procedimento?
Forse se è possibile ottenere un numero pari di disposizioni(trasposizioni) questa è pari, altrimenti è dispari
però mi sembra molto complicato, anche perchè i segni si alternano in questo modo $((+ - + - ...), (- + - + ...), (+ - + - ...))$ quindi dopo un pò non ci fai più caso
però mi sembra molto complicato, anche perchè i segni si alternano in questo modo $((+ - + - ...), (- + - + ...), (+ - + - ...))$ quindi dopo un pò non ci fai più caso
nn ho capito....scusami 
Ti faccio un esempio
$((1, 2, 3 ),(4, 5, 6),(7, 8, 9))$ per calcolare il determinante innanzitutto scegli una riga,
prendo la prima e faccio $1*((5, 6),(8, 9)) + 2*((4, 6),(7, 9)) + 3*((4, 5),(7, 8))$
prendo ogni elemento della riga scelta e lo moltiplico
per la sottomatrice che ottengo cancellando la riga e la colonna che contengono l'elemento
per i segni vedo che 1 si trova nella prima riga e prima colonna
quindi faccio 1 + 1 e ottengo un numero pari perciò lascio il segno uguale, 2 si trova in posizione dispari e 3 pari
adesso cambio i segni $1*((5, 6),(8, 9)) - 2*((4, 6),(7, 9)) + 3*((4, 5),(7, 8))$
ora bisogna calcolare i determinanti di quelle 3 sottomatrici quindi $1*(5*(9) - 6*(8)) - 2*(4*(9) - 6*(7)) + 3*(4*(8) - 5*(7))$
quindi il determinante è $0$
questa formula è noisissima e non la userai mai tranne che per le $2x2$ però non è complicata
i segni si alternano sia per righe che per colonne $((+, -, +),(-, +, - ),(+, -, +))$ ma tanto a te interessa una sola riga
per facilitare i calcoli si scegli quella con più zeri però non cambia nulla ne per righe ne per colonne
spero di essere stato chiaro, comunque come già detto questa formula è troppo lunga e quindi la userai poco
$((1, 2, 3 ),(4, 5, 6),(7, 8, 9))$ per calcolare il determinante innanzitutto scegli una riga,
prendo la prima e faccio $1*((5, 6),(8, 9)) + 2*((4, 6),(7, 9)) + 3*((4, 5),(7, 8))$
prendo ogni elemento della riga scelta e lo moltiplico
per la sottomatrice che ottengo cancellando la riga e la colonna che contengono l'elemento
per i segni vedo che 1 si trova nella prima riga e prima colonna
quindi faccio 1 + 1 e ottengo un numero pari perciò lascio il segno uguale, 2 si trova in posizione dispari e 3 pari
adesso cambio i segni $1*((5, 6),(8, 9)) - 2*((4, 6),(7, 9)) + 3*((4, 5),(7, 8))$
ora bisogna calcolare i determinanti di quelle 3 sottomatrici quindi $1*(5*(9) - 6*(8)) - 2*(4*(9) - 6*(7)) + 3*(4*(8) - 5*(7))$
quindi il determinante è $0$
questa formula è noisissima e non la userai mai tranne che per le $2x2$ però non è complicata
i segni si alternano sia per righe che per colonne $((+, -, +),(-, +, - ),(+, -, +))$ ma tanto a te interessa una sola riga
per facilitare i calcoli si scegli quella con più zeri però non cambia nulla ne per righe ne per colonne
spero di essere stato chiaro, comunque come già detto questa formula è troppo lunga e quindi la userai poco
temo sia colpa mia, nn riesco a spiegarmi bene...io l ho capito il procedimento che mi hai illustrato e sinceramente io le semplici matrici che ho calcolato le ho calcolate sempre o con Sarrus o con Laplace oppure erano matrici triangolari....quel che mi chiedevo e mi chiedo e come ricavare i segni + e - che si alternano che se nn ho capito male derivano da delle permutazioni. Ma fare la somma dell indice della colonna piu l indice della riga per trovare l esponente di -1 significa fare una permutazione?
"richard84":
io le semplici matrici che ho calcolato le ho calcolate sempre o con Sarrus o con Laplace
Guarda che ho calcolato il determinante di quella matrice utilizzando proprio lo sviluppo o formula di Laplace,
per quanto riguarda i segni non sono riuscito a capire cosa intendesse il tuo professore
con permutazioni di indici di riga o di colonna,
quindi non so dirti se sommare l'indice di riga con l'indice di colonna
voglia dire fare una permutazione di indici ma non preoccuparti perchè il risultato alla fine è sempre lo stesso
vi ringrazio molto per l ascolto cerchero di chiedere chiarimenti al prof. anche se la vedo dura.....ho delle dispense strapiene d errori e un professore che si blocca ad ogni dimostrazione che fa ...se nn addirittura le sbaglia e poi la rifa!Quindi sto facendo fatica a capire...
Sapete ancora dirmi come mai nel prodotto di matrici si procede moltplicato la riga di una matrice per la colonna dell altra matrice?Potrebbe essere per la proprieta associativa?che continua a valere solo se moltiplico in quel modo?se si come lo dimostro?
grazie ancora!
Sapete ancora dirmi come mai nel prodotto di matrici si procede moltplicato la riga di una matrice per la colonna dell altra matrice?Potrebbe essere per la proprieta associativa?che continua a valere solo se moltiplico in quel modo?se si come lo dimostro?
grazie ancora!
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