Proposizione su Spazi Compatti

[wanderer1]

Ciao a tutti,
mi sono imbattuto in questa proposizione:

Sia $X$ uno spazio topologico compatto, allora dato $B \sube X$ un sottoinsieme aperto non vuoto, esiste $A$ sottoinsieme aperto non vuoto tale che $A \sube B$ e $cl(A) \sube B$.

Ho provato ad impostare una dimostrazione per assurdo, ma non arrivo da alcuna parte. Qualche idea?
Grazie infinite

[otta96]

Mi sembra che non sia essenziale l'ipotesi di compattezza. Comunque hai presente gli spazi normali? E sai che gli spazi metrici sono normali? Ragiona su questo.

[wanderer1]

Quindi quali ipotesi sullo spazio devo fare? Basta che sia solo normale?
Effettivamente questa proposizione compariva in all'interno di una dimostrazione più grande in cui serviva la compattezza, quindi è possibile che non sia necessaria per questa proposizione.

[otta96]

A me sembra che basti sia normale, infatti sia $x\inB$, allora ${x}$ e $X\setminus B$ sono chiusi disgiunti non vuoti, allora esistono $U_1,U_2$ aperti disgiunti tali che $x\inU_1$ e $X\setminus B\subseteq U_2$. Allora posto $A=U_1$ si ha la tesi perché $A\subseteqX\setminus U_2\subseteq B$, e dato che $B$ è chiuso si ha $\bar{A}\subseteq\bar{B}$.
P.S. C'è da fare attenzione al fatto che abbiamo usato che i punti sono chiusi, quindi lo spazio deve essere anche $T_1$, ipotesi che non è universale includere nella definizione di normale, alcuni la mettono altri no, ma in questo caso serve.

[wanderer1]

Perfetto, grazie infinite!