[Proof] Autovalori distinti ed autovettori indipendenti

[Raptorista1]

Buon giorno a tutti!
Come molti di voi certamente sapranno, un noto teorema afferma che

"Un libro qualunque":Data una matrice \(A \in M_n\), ad autovalori distinti corrispondono autovettori linearmente indipendenti.

La dimostrazione di tale fatto, durante il mio corso di algebra lineare, è stata fatta per induzione.
Siccome però, a me, quella dimostrazione non è mai andata giù, né mi va giù adesso, ne ho cercata un'altra, ma senza successo: sull'Abate c'è sempre questa, mentre su Sernesi ho rinunciato anche solo a trovare il teorema XD.

Bando alle ciance, piuttosto che mettermi a sfogliare libri in eterno ho deciso di provare a fare io una dimostrazione diversa, che mi aggradi.
Contro ogni previsione, in pochi minuti sono riuscito a tirar fuori dal cilindro la seguente dimostrazione:

Teorema. Sia \(A\) una matrice di ordine \(n\). Allora ad autovalori distinti corrispondono autovettori linearmente indipendenti.

Dimostrazione.
La tesi del teorema dice che non possono esserci due autovettori relativi ad autovalori distinti che siano tra loro linearmente dipendenti. In formule,
\[
\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2 : A\mathbf{v}_1 = \lambda_1 \mathbf{v}_1, A \mathbf{v}_2 = \lambda_2 \mathbf{v}_2, \lambda_1 \ne \lambda_2 \Rightarrow \mathbf{v}_1 \ne \alpha \mathbf{v}_2 \ \forall \alpha \in \mathbb R.
\]
Procediamo nella dimostrazione per assurdo: sia \(\mathbf{v}_1 = \alpha \mathbf{v}_2\).
Allora
\[
A \mathbf{v}_1 = \lambda_1 \mathbf{v}_1 = \{\text{Hp d'assurdo}\} = \alpha \lambda_1 \mathbf{v}_2.
\]
Ma d'altronde
\[
A \mathbf{v}_1 = \{\text{Hp d'assurdo}\} = A (\alpha \mathbf{v}_2) = \alpha A \mathbf{v}_2 = \alpha \lambda_2 \mathbf{v}_2.
\]
Cofrontando quindi le due catene di uguaglianze si trova
\[
\alpha \lambda_1 \mathbf{v}_2 = \alpha \lambda_2 \mathbf{v}_2
\]
da cui
\[
\lambda_1 \mathbf{v}_2 = \lambda_2 \mathbf{v}_2
\]
che è vera se e solo se
\[
\lambda_1 = \lambda_2,
\]
ma questo è assurdo. \(\square\)

La cosa che mi turba è che il tutto sia così facile, e siccome io sono solito prendere svarioni su cose banali mi si accende la lampadina che mi suggerisce che se non è stato fatto così è perché così non va bene.

Ora, giusto l'altro giorno dicevo ad un ragazzo che è importante sviluppare la capacità di capire se una dimostrazione è giusta o sbagliata; in questo caso, però, questa cosa potrebbe essermi chiesta durante un esame e quindi preferisco essere più che sicuro
Arrivo quindi alla domanda per voi: la dimostrazione che ho scritto sopra va bene?

[Seneca1]

Quello che hai scritto mi sembra funzioni.

[Raptorista1]

Grazie
Allora una volta tanto non ho preso uno svarione

[panza.danielepv]

So che sono passati 10 anni, ma pensavo potesse farle piacere sapere che al corso di Geometria e Algebra Lineare che sto seguendo il mio professore ha spiegato il teorema così come lo hai spiegato tu.

[j18eos]

...ma lei chi?

[vict85]

Sono anni che non vedo queste cose e non ricordo che dimostrazione veniva usata, ma suppongo che venga usata l'induzione perché si vuole dimostrare per \(m\) distinti autovettori con autovalori distinti. Insomma, l'induzione ti permette di usare l'indipendenza di \(m-1\) autovettori. Per una dimostrazione alternativa ci dovrei pensare. Hai provata a cercare il teorema in qualche manuale di analisi funzionale? Lì gli autovalori possono essere numerabili ( credo).

Sinceramente non vedo perché usare l'assurdo per lo specifico caso che dimostri tu dato che gli autospazi relativi ad un autovettore sono sottospazi. Insomma il tuo è un corollario del fatto che se \(\mathbf{v}\) è autovettore anche \(\alpha\mathbf{v}\) lo è (e con lo stesso autovalore).

[j18eos]

Rileggendo questa vecchia domanda di Raptorista, io formulerei il teorema come segue:

Gli autospazi di una matrice quadrata (su un campo) sono in somma diretta.

e nel dimostrare tale teorema si utilizza il Principio di Induzione.