Proof: 2° Criterio di diagonalizzazione
Salve a tutti,
il 1° Criterio di diagonalizzazione è davvero semplice nel dimostrarlo, ma nel mio libro proprio nn riesco a capire come dimostra(re) questo teorema (2° Criterio di diagonalizzazione):
siano dati \( f \in End_K(E) \), ed \( a_1,a_2,...,a_r \in sp(f) \), ove \( a_1,a_2,...,a_r \) sono distinti, allora $$ f \mbox{ è diagonalizzabile } \leftrightarrow E=E_{a_1}^f + E_{a_2}^f +...+E_{a_r}^f\doteq E_{a_1}^f \oplus E_{a_2}^f \oplus...\oplus E_{a_r}^f$$ che la somma $$E_{a_1}^f + E_{a_2}^f +...+E_{a_r}^f$$ è diretta, ovvero $$E_{a_1}^f + E_{a_2}^f +...+E_{a_r}^f\doteq E_{a_1}^f \oplus E_{a_2}^f \oplus...\oplus E_{a_r}^f$$ concordo essendo che, \( a_1,a_2,...,a_r \) sono distinti $$E_{a_1}^f \cap E_{a_2}^f \cap ...\cap E_{a_r}^f=\{0_E\}$$ ma il nocciolo vero della questione è l'uguaglianza con \( E \)... ora essendo che \(E_{a_1}^f + E_{a_2}^f +...+E_{a_r}^f\) è sottospazio di \( E \) allora $$ \dim_K(E_{a_1}^f + E_{a_2}^f +...+E_{a_r}^f) \leq \dim_K(E) $$ mi basta dimostrare che \( \dim_K(E_{a_1}^f + E_{a_2}^f +...+E_{a_r}^f) \geq \dim_K(E) \) ed avrei finito il primo verso della dimostrazione.. ma nn riesco nell'intento!
Saluti
P.S.=Preciso che \( E_{a_i} ^f \), con \( i \in \{1,2,...,r\} \), è l'autospazio associato all'autovalore \( a_i \) rispetto ad \(f \)..
il 1° Criterio di diagonalizzazione è davvero semplice nel dimostrarlo, ma nel mio libro proprio nn riesco a capire come dimostra(re) questo teorema (2° Criterio di diagonalizzazione):
siano dati \( f \in End_K(E) \), ed \( a_1,a_2,...,a_r \in sp(f) \), ove \( a_1,a_2,...,a_r \) sono distinti, allora $$ f \mbox{ è diagonalizzabile } \leftrightarrow E=E_{a_1}^f + E_{a_2}^f +...+E_{a_r}^f\doteq E_{a_1}^f \oplus E_{a_2}^f \oplus...\oplus E_{a_r}^f$$ che la somma $$E_{a_1}^f + E_{a_2}^f +...+E_{a_r}^f$$ è diretta, ovvero $$E_{a_1}^f + E_{a_2}^f +...+E_{a_r}^f\doteq E_{a_1}^f \oplus E_{a_2}^f \oplus...\oplus E_{a_r}^f$$ concordo essendo che, \( a_1,a_2,...,a_r \) sono distinti $$E_{a_1}^f \cap E_{a_2}^f \cap ...\cap E_{a_r}^f=\{0_E\}$$ ma il nocciolo vero della questione è l'uguaglianza con \( E \)... ora essendo che \(E_{a_1}^f + E_{a_2}^f +...+E_{a_r}^f\) è sottospazio di \( E \) allora $$ \dim_K(E_{a_1}^f + E_{a_2}^f +...+E_{a_r}^f) \leq \dim_K(E) $$ mi basta dimostrare che \( \dim_K(E_{a_1}^f + E_{a_2}^f +...+E_{a_r}^f) \geq \dim_K(E) \) ed avrei finito il primo verso della dimostrazione.. ma nn riesco nell'intento!
Saluti
P.S.=Preciso che \( E_{a_i} ^f \), con \( i \in \{1,2,...,r\} \), è l'autospazio associato all'autovalore \( a_i \) rispetto ad \(f \)..
Risposte
"garnak.olegovitc":Questo non è vero (in generale), e inoltre la definizione di somma diretta richiede un'altra eguaglianza.
...essendo che, \( a_1,a_2,...,a_r \) sono distinti \[ E_{a_1}^f \cap E_{a_2}^f \cap ...\cap E_{a_r}^f=\{0_E\} \]...
Per quanto riguarda la parte finale; se \(\displaystyle f\) è diagonalizzabile allora...
@j18eos,
[/quote]
mmm, sul fatto che non è vero in generale non ho capito bene.. sul fatto della definizione di somma diretta io la conosco in questo modo:
siano dati \(A\) e \(B \) due sottospazi di \( E\), allora la loro somma \( A+B\) è diretta se $$ \forall a \in A,b \in B(a+b=0 \to a=b=0) $$
poi il mio testo dimostra che:
"siano dati \(A\) e \(B \) due sottospazi di \( E\), allora la loro somma \( A+B\) è diretta se e solo se \(A \cap B=\{0\} \)"
forse non ho tenuto conto del fatto che ho qui non ho proprio \( 2 \) sottospazi ma \( r \).. non saprei!
Saluti
"j18eos":Questo non è vero (in generale), e inoltre la definizione di somma diretta richiede un'altra eguaglianza.
[quote="garnak.olegovitc"]...essendo che, \( a_1,a_2,...,a_r \) sono distinti \[ E_{a_1}^f \cap E_{a_2}^f \cap ...\cap E_{a_r}^f=\{0_E\} \]...
[/quote]
mmm, sul fatto che non è vero in generale non ho capito bene.. sul fatto della definizione di somma diretta io la conosco in questo modo:
siano dati \(A\) e \(B \) due sottospazi di \( E\), allora la loro somma \( A+B\) è diretta se $$ \forall a \in A,b \in B(a+b=0 \to a=b=0) $$
poi il mio testo dimostra che:
"siano dati \(A\) e \(B \) due sottospazi di \( E\), allora la loro somma \( A+B\) è diretta se e solo se \(A \cap B=\{0\} \)"
forse non ho tenuto conto del fatto che ho qui non ho proprio \( 2 \) sottospazi ma \( r \).. non saprei!
Saluti
"garnak.olegovitc":Se prendi un endomorfismo non diagonalizzabile, può accadere!
...sul fatto che non è vero in generale non ho capito bene...
La definizione di somma diretta che hai riportata è esatta; se tu volessi generalizzarla a 3 spazi vettoriali come faresti, sapendo che lo sai fare per 2 spazi vettoriali?
@j18eos,
io direi:
siano dati \( A,B,C \) tre sottospazio vettoriali di \( E \) , allora la somma \( A+B+C\) è somma diretta se $$\forall a \in A, b \in B, c \in C(a+b+c=0 \to a+b=c=0) $$ è corretto?
Saluti
P.S.=Se è corretta, non dovrei almeno avere/dire che \( A+B \) deve essere in somma diretta?
"j18eos":
La definizione di somma diretta che hai riportata è esatta; se tu volessi generalizzarla a 3 spazi vettoriali come faresti, sapendo che lo sai fare per 2 spazi vettoriali?
io direi:
siano dati \( A,B,C \) tre sottospazio vettoriali di \( E \) , allora la somma \( A+B+C\) è somma diretta se $$\forall a \in A, b \in B, c \in C(a+b+c=0 \to a+b=c=0) $$ è corretto?
Saluti
P.S.=Se è corretta, non dovrei almeno avere/dire che \( A+B \) deve essere in somma diretta?
Nì, \(\displaystyle A\) e \(\displaystyle B\) li devi comunque supporre in somma diretta tra loro.
In termini di intersezione come scriveresti; dato per scontato che a priori \(\displaystyle A\cap B=\{\underline0\}\)?
In termini di intersezione come scriveresti; dato per scontato che a priori \(\displaystyle A\cap B=\{\underline0\}\)?
@j18eos,
mmm mi sfugge, non saprei.!!
Saluti
"j18eos":
Nì, \(\displaystyle A\) e \(\displaystyle B\) li devi comunque supporre in somma diretta tra loro.
In termini di intersezione come scriveresti; dato per scontato che a priori \(\displaystyle A\cap B=\{\underline0\}\)?
mmm mi sfugge, non saprei.!!
Saluti
Dati \(\displaystyle 3\) sottospazi vettoriali reali (ma non importa su quali campo) \(\displaystyle A_1,A_2,A_3\) di uno spazio vettoriale \(\displaystyle\mathbb{V}\); si afferma che \(\displaystyle\mathbb{V}=A_1\oplus A_2\oplus A_3\) se e solo se:
\[
\mathbb{V}=\mathrm{span}(A_1,A_2,A_3)\\
\forall i;j;k\in\{1;\;2;3\},\,\mathrm{span}(A_i,A_j)\cap A_k=\{\underline0\}
\]
ti torna ora?
\[
\mathbb{V}=\mathrm{span}(A_1,A_2,A_3)\\
\forall i;j;k\in\{1;\;2;3\},\,\mathrm{span}(A_i,A_j)\cap A_k=\{\underline0\}
\]
ti torna ora?
@j18eos,
scusami.. mi ero dimenticato della discussione... mmmm la tua definizione mi è nuova, il libro/testo che uso io da questa:
Saluti
P.S.=preciso che il testo in questione è http://ecx.images-amazon.com/images/I/415gjTPadnL._.jpg
Non sono uno che capisce molto il francese, però leggendo: http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_dire ... vectoriels mi sembra di capire che ciò che leggo nel mio libro è giusto, o magari tu ti riferivi ad altro! Inoltre mi sembra di capire che nel caso di una somma diretta di \( E_1,...,E_p \) \(p\)-sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale \( V \) la loro somma è diretta se e solo se $$ \forall i,j \in \{1,...,p\}(i \neq j \to E_i \cap E_j = \{0_V\})$$ Leggo la stessa cosa anche su questo testo, sperando di italianizzare bene il francese
"j18eos":
Dati \(\displaystyle 3\) sottospazi vettoriali reali (ma non importa su quali campo) \(\displaystyle A_1,A_2,A_3\) di uno spazio vettoriale \(\displaystyle\mathbb{V}\); si afferma che \(\displaystyle\mathbb{V}=A_1\oplus A_2\oplus A_3\) se e solo se:
\[
\mathbb{V}=\mathrm{span}(A_1,A_2,A_3)\\
\forall i;j;k\in\{1;\;2;3\},\,\mathrm{span}(A_i,A_j)\cap A_k=\{\underline0\}
\]
ti torna ora?
scusami.. mi ero dimenticato della discussione... mmmm la tua definizione mi è nuova, il libro/testo che uso io da questa:
Saluti
P.S.=preciso che il testo in questione è http://ecx.images-amazon.com/images/I/415gjTPadnL._.jpg
Non sono uno che capisce molto il francese, però leggendo: http://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_dire ... vectoriels mi sembra di capire che ciò che leggo nel mio libro è giusto, o magari tu ti riferivi ad altro! Inoltre mi sembra di capire che nel caso di una somma diretta di \( E_1,...,E_p \) \(p\)-sottospazi vettoriali di uno spazio vettoriale \( V \) la loro somma è diretta se e solo se $$ \forall i,j \in \{1,...,p\}(i \neq j \to E_i \cap E_j = \{0_V\})$$ Leggo la stessa cosa anche su questo testo, sperando di italianizzare bene il francese
@j18eos,
penso di avere capito, però vorrei proseguire passo dopo passo se per te va bene:
concordiamo su questo? Mi manca da dimostrare la Prop.(22)... Tu scrivi:
ovvero quando una somma diretta di sottospazi vettoriali di uno spazio vettorie è uguale allo spazio vettoriale.. ho capito bene? Se si, non capisco allora la scrittura \( \mathrm{span}(A_1,A_2,A_3) \).. io lo \(\mathrm{span} \) l'ho visto solo con gli elementi di uno spazio vettoriale..!! Ti ringrazio delle risposte!
Saluti
penso di avere capito, però vorrei proseguire passo dopo passo se per te va bene:
"Def.(11):":sva0fez9:
siano \(E,F\) due sottospazi vettoriali di \(V\), \(E+F\) è somma diretta, \(E+F \doteq E\oplus F\), se $$\forall e \in E, f \in F (e+f=0_V \to e=f=0_V)$$
"Prop.(12):":sva0fez9:
siamo \(E,F\) due sottospazi vettoriali di \(V\), allora $$E+F \doteq E\oplus F \leftrightarrow E \cap F =\{0_V\}$$
"Def.(21):":sva0fez9:
siano \(E_1,...,E_p\) $p$ sottospazi vettoriali di $V$, $E_1+...+E_p$ è somma diretta, \(E_1+...+E_p \doteq E_1\oplus ... \oplus E_p\), se $$\forall e_1 \in E, ...,e_p \in E_P (e_1+...+e_p=0_V \to e_1=...=e_p=0_V)$$
"Prop.(22):":sva0fez9:
siano $E_1,...,E_p$ $p$ sottospazi vettoriali di $V$, allora $$E_1+...+E_p \doteq E_1 \oplus ... \oplus E_p \leftrightarrow \forall i \in \{1,...,p\}(E_i \cap \left(E_1+\cdots+E_{i-1}+E_{i+1}+\cdots+E_p\right) = \{0_V\}))$$
concordiamo su questo? Mi manca da dimostrare la Prop.(22)... Tu scrivi:
"j18eos":
Dati \(\displaystyle 3\) sottospazi vettoriali reali (ma non importa su quali campo) \(\displaystyle A_1,A_2,A_3\) di uno spazio vettoriale \(\displaystyle\mathbb{V}\); si afferma che \(\displaystyle\mathbb{V}=A_1\oplus A_2\oplus A_3\) se e solo se:
\[
\mathbb{V}=\mathrm{span}(A_1,A_2,A_3)\\
\forall i;j;k\in\{1;\;2;3\},\,\mathrm{span}(A_i,A_j)\cap A_k=\{\underline0\}
\]
ti torna ora?
ovvero quando una somma diretta di sottospazi vettoriali di uno spazio vettorie è uguale allo spazio vettoriale.. ho capito bene? Se si, non capisco allora la scrittura \( \mathrm{span}(A_1,A_2,A_3) \).. io lo \(\mathrm{span} \) l'ho visto solo con gli elementi di uno spazio vettoriale..!! Ti ringrazio delle risposte!
Saluti
"garnak.olegovitc":Se l'hai visto solo in quel caso, saprai anche risponderti da solo!
...non capisco allora la scrittura \( \mathrm{span}(A_1,A_2,A_3) \).. io lo \( \mathrm{span} \) l'ho visto solo con gli elementi di uno spazio vettoriale...
perdonami per l'ignoranza ma non saprei rispondermi..
Se \(\displaystyle\mathrm{Span}(\underline{\mathbf{v}})\) è lo spazio vettoriale generato dal vettore \(\displaystyle\underline{\mathbf{v}}\) allora \(\displaystyle\mathrm{Span}(A)\) è lo spazio vettoriale generato dall'insieme \(\displaystyle A\)! Logico, no?
Quali sono le altre domande in sospeso?
Quali sono le altre domande in sospeso?
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