Prolungamento applicazione lineare
ho un esercizio che non sto potendo risolvere perché non riesco a uscirne concettualmente
l'esercizio è questo:
Determinare la matrice associata, rispetto alle basi canoniche, al generico endomorfismo $g$ di $RR^4$ tale che la restrizione di $g$ a $V$ è uguale a $f$ e $dimKerg=1$
$f$ è l'applicazione lineare $f:V->RR^4$ definita dalle relazioni
$f(v_1)=(1,2,4,0)$
$f(v_2)=(-8,-4,0,0)$
$f(v_3)=(6,4,4,0)$
dove $v_1,v_2,v_3$ sono i vettori che formano un base di $V$
dunque concettualmente dire che $dim kerg=1$ vale a dire per il teorema delle dimensioni che $dimImg=3$ ovvero la matrice associata all'endomorfismo $g$ sarà una matrice 4x4 costituita una colonna linearmente dipendente.quindi il rango della matrice sarà pari a $3$.
adesso per costruire la matrice associata all'endomorfismo rispetto alle basi canoniche devo considerare una base di V $(v_1,v_2,v_3)$ con l'aggiunta di un vettore linearmente indipendente così da costituire una base per $RR^4$.poi il tutto rispetto alla base canonica di $RR^4$ $(e_1,e_2,e_3,e_4)$
quindi la matrice sarebbe $M^(B,E)(g)$
dove $E=(e_1,e_2,e_3,e_4)$ mentre $B=(v_1,v_2,v_3,e_4)$
per favore qualcuno mi aiuti.è importante. è una materia tosta che sto preparando per settembre.
l'esercizio è questo:
Determinare la matrice associata, rispetto alle basi canoniche, al generico endomorfismo $g$ di $RR^4$ tale che la restrizione di $g$ a $V$ è uguale a $f$ e $dimKerg=1$
$f$ è l'applicazione lineare $f:V->RR^4$ definita dalle relazioni
$f(v_1)=(1,2,4,0)$
$f(v_2)=(-8,-4,0,0)$
$f(v_3)=(6,4,4,0)$
dove $v_1,v_2,v_3$ sono i vettori che formano un base di $V$
dunque concettualmente dire che $dim kerg=1$ vale a dire per il teorema delle dimensioni che $dimImg=3$ ovvero la matrice associata all'endomorfismo $g$ sarà una matrice 4x4 costituita una colonna linearmente dipendente.quindi il rango della matrice sarà pari a $3$.
adesso per costruire la matrice associata all'endomorfismo rispetto alle basi canoniche devo considerare una base di V $(v_1,v_2,v_3)$ con l'aggiunta di un vettore linearmente indipendente così da costituire una base per $RR^4$.poi il tutto rispetto alla base canonica di $RR^4$ $(e_1,e_2,e_3,e_4)$
quindi la matrice sarebbe $M^(B,E)(g)$
dove $E=(e_1,e_2,e_3,e_4)$ mentre $B=(v_1,v_2,v_3,e_4)$
per favore qualcuno mi aiuti.è importante. è una materia tosta che sto preparando per settembre.
Risposte
Ma i vettori $v_1, v_2, v_3$ non sono assegnati?
Se per te il vettore $e_4$ indica $(0,0,0,1)$, quello che affermi $(v_1,v_2,v_3,e_4)$ è una base non è poi tanto vero. Sicuramente almeno uno dei quattro vettori della base canonica non appartiene allo spazio generato dai vettori $v_1,v_2,v_3$, chi ti assicura che quello ad non appartenere sia proprio $e_4$?
Se per te il vettore $e_4$ indica $(0,0,0,1)$, quello che affermi $(v_1,v_2,v_3,e_4)$ è una base non è poi tanto vero. Sicuramente almeno uno dei quattro vettori della base canonica non appartiene allo spazio generato dai vettori $v_1,v_2,v_3$, chi ti assicura che quello ad non appartenere sia proprio $e_4$?
"weblan":
Ma i vettori $v_1, v_2, v_3$ non sono assegnati?
Se per te il vettore $e_4$ indica $(0,0,0,1)$, quello che affermi $(v_1,v_2,v_3,e_4)$ è una base non è poi tanto vero. Sicuramente almeno uno dei quattro vettori della base canonica non appartiene allo spazio generato dai vettori $v_1,v_2,v_3$, chi ti assicura che quello ad non appartenere sia proprio $e_4$?
si $v_1, v_2, v_3$ risultano essere assegnati e sono pari a rispettivamente a
$v_1=(2,1,2,0)$,$v_2=(2,-2,0,0)$,$v_3=(0,2,2,0)$
si per $e_4$ intendo proprio $(0,0,0,1)$.
io ho affermato con tutta sicurezza che $(v_1,v_2,v_3,e_4)$ è una base di $RR^4$ perché questi vettori sono linearmente indipendenti.dove sta l'errore?
Inoltre tutto l'esercizio arrivato a questo punto si riduce nel trovare una base di $RR^4$.esatto?
Dove sta l'errore?
Nessun errore, semmai non avendo precisato i vettori $v_1,v_2,v_3$ sembrava un impresa determinare questo prolungamento $g:RR^4\toRR^4$.
Ora le cose assumono una veste diversa. Bisogna anche precisare che endomorfismi che soddifano alle condizioni dettate ne esistono infiniti. Se considero un vettore generico $u$ che insieme a quelli assegnati costituisce una base di $RR^4$, esiste sempre un'unica applicazione che soddisfa alle condizioni dettate, imponendo ovviamente $g(u)=(0,0,0,0)$. In generale se $w$ non è un vettore che appartiene allo spazio generato da $u$ e che insieme ai tre vettori assegnati $v_1,v_2,v_3$ costituisce una base di $RR^4$, posso costruire un'altro prolungamento $h$, distinto da $g$, con la condizione ovvia che $h(w)=(0,0,0,0)$.
Fatta questa precisazione, se tu scegli il vettore $e_4$ per completare il sistema $v_1,v_2,v_3$ ad una base di $RR^4$, per costruire l'endomorfismo e poi la relativa matrice rispetto alle basi canoniche, adotterei questo criterio (mi resta il dubbio perchè precisi sul generico endomorfismo, ma non sarà cosi semplice esplicitarlo, in questo caso lo facciamo rispetto ad un preciso prolungamento):
$(x,y,z,t)=\alpha(0,0,0,1)+\beta(2,1,2,0)+\gamma(2,-2,0,0)+\delta(0,2,2,0)$, quindi
$(x,y,z,t)=(0,0,0,\alpha)+(2\beta,\beta,2\beta,0)+(2\gamma,-2\gamma,0,0)+(0,2\delta,2\delta,0)$, quindi
$\{(2\beta+\2gamma = x),(\beta-2\gamma+\2delta = y),(2\beta+\2delta = z),(\alpha=t):}$
dal sistema si ricava:
$\{(\alpha=t),(\beta = x+y-z),(\gamma = z-y-x/2),(\delta=3z/2-x-y):}$
Quindi $g(x,y,z,t)=t(0,0,0,0)+(x+y-z)(1,2,4,0)+(z-y-x/2)(-8,-4,0,0)+(3z/2-x-y)(6,4,4,0)$
Fatti i calcoli si trova:
$g(x,y,z,t)=(-x+3y,2y,2z,0)$
Tale applicazione soddisfa le nostre condizioni e poi la matrice che rappresenta tale endomorfismo è la seguente:
$((-1,3,0,0),(0,2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,0))$
Nessun errore, semmai non avendo precisato i vettori $v_1,v_2,v_3$ sembrava un impresa determinare questo prolungamento $g:RR^4\toRR^4$.
Ora le cose assumono una veste diversa. Bisogna anche precisare che endomorfismi che soddifano alle condizioni dettate ne esistono infiniti. Se considero un vettore generico $u$ che insieme a quelli assegnati costituisce una base di $RR^4$, esiste sempre un'unica applicazione che soddisfa alle condizioni dettate, imponendo ovviamente $g(u)=(0,0,0,0)$. In generale se $w$ non è un vettore che appartiene allo spazio generato da $u$ e che insieme ai tre vettori assegnati $v_1,v_2,v_3$ costituisce una base di $RR^4$, posso costruire un'altro prolungamento $h$, distinto da $g$, con la condizione ovvia che $h(w)=(0,0,0,0)$.
Fatta questa precisazione, se tu scegli il vettore $e_4$ per completare il sistema $v_1,v_2,v_3$ ad una base di $RR^4$, per costruire l'endomorfismo e poi la relativa matrice rispetto alle basi canoniche, adotterei questo criterio (mi resta il dubbio perchè precisi sul generico endomorfismo, ma non sarà cosi semplice esplicitarlo, in questo caso lo facciamo rispetto ad un preciso prolungamento):
$(x,y,z,t)=\alpha(0,0,0,1)+\beta(2,1,2,0)+\gamma(2,-2,0,0)+\delta(0,2,2,0)$, quindi
$(x,y,z,t)=(0,0,0,\alpha)+(2\beta,\beta,2\beta,0)+(2\gamma,-2\gamma,0,0)+(0,2\delta,2\delta,0)$, quindi
$\{(2\beta+\2gamma = x),(\beta-2\gamma+\2delta = y),(2\beta+\2delta = z),(\alpha=t):}$
dal sistema si ricava:
$\{(\alpha=t),(\beta = x+y-z),(\gamma = z-y-x/2),(\delta=3z/2-x-y):}$
Quindi $g(x,y,z,t)=t(0,0,0,0)+(x+y-z)(1,2,4,0)+(z-y-x/2)(-8,-4,0,0)+(3z/2-x-y)(6,4,4,0)$
Fatti i calcoli si trova:
$g(x,y,z,t)=(-x+3y,2y,2z,0)$
Tale applicazione soddisfa le nostre condizioni e poi la matrice che rappresenta tale endomorfismo è la seguente:
$((-1,3,0,0),(0,2,0,0),(0,0,2,0),(0,0,0,0))$
dunque weblan innanzitutto ti volevo ringraziare per l'attenzione.sei stato veramente gentile a tirare un salvagente ad un povero studente... 
secondo volevo continuare facendoti un paio di domande: te dici che ovviamente $g(u)=(0,0,0,0)$.questo perché avviene?
secondo volevo continuare facendoti un paio di domande: te dici che ovviamente $g(u)=(0,0,0,0)$.questo perché avviene?
"mazzy89":
te dici che ovviamente $g(u)=(0,0,0,0)$.questo perché avviene?
Il nucleo del prolungamento deve avere dimensione 1, quindi necessariamente $g(u)=(0,0,0,0)$. E' una richiesta della traccia. Il nucleo è costituito dai vettori la cui immagine è il vettore nullo del codominio. Trattasi di un endomorfismo di $RR^4$, inoltre ricorda che:
Se $g:V\toW$ è un applicazione lineare $dimV=dim(Ker(g))+dim(Im(g))$.
Nel nostro caso $dimRR^4=4$; $dim (Ker(g))=1$ e $dim(Im(g))=3$.
ah già vero c'è la condizione $dimKERg=1$. ma non mi è chiaro dove la vai ad utilizzare questa condizione nel calcolo della matrice associata.
ok basta trovato dove l'hai utilizzata la condizione.adesso tutto chiaro.chiarissimo e limpidissimo.ti ringrazio
ok basta trovato dove l'hai utilizzata la condizione.adesso tutto chiaro.chiarissimo e limpidissimo.ti ringrazio
ma stavo pensando per definire il generico endomorfismo non basta che lasciamo il vettore $u$ generico ipotizzando solamente che il suddetto vettore sia linearmente indipendente?
mazzy89, per favore cambia il titolo mettendone uno che specifichi l'argomento. Clicca su "modifica" nel tuo intervento. Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo