Proiezioni ortogonali

[dragon11]

Ciao a tutti. Ho un problema che non riesco a risolvere:
se le proiezioni ortogonali di $\vec v$ lungo $\vec i - \vec j$ e $\vec j + \vec k$ sono uguali a quelle di $\vec i + 2\vec j - \vec k$ e $\vec v$ è ortogonale a $2\vec i - 2 \vec k$, calcolare $\vec v$.
Ho calcolato le proiezioni ortogonali di $\vec i + 2\vec j - \vec k$ sui 2 vettori dati e il risultato è $1/sqrt2 (\vec i - \vec j)$, ma come arrivare a calcolare $\vec v$?
Grazie a tutti

[Quinzio]

"dragon":Ciao a tutti. Ho un problema che non riesco a risolvere:
se le proiezioni ortogonali di $\vec v$ lungo $\vec i - \vec j$ e $\vec j + \vec k$ sono uguali a quelle di $\vec i + 2\vec j - \vec k$ e $\vec v$ è ortogonale a $2\vec i - 2 \vec k$, calcolare $\vec v$.
Ho calcolato le proiezioni ortogonali di $\vec i + 2\vec j - \vec k$ sui 2 vettori dati e il risultato è $1/sqrt2 (\vec i - \vec j)$, ma come arrivare a calcolare $\vec v$?
Grazie a tutti

Se al vettore $\vec i + 2\vec j - \vec k$ aggiungi un vettore ortogonale a quelli su cui vai a fare la proiezione, cioè $\vec i - \vec j$ e $\vec j + \vec k$, le proiezioni ortogonali non cambiano. Questo perchè l'applicazione "proiezione ortogonale" è lineare e quindi aggiungendo al vettore originale un vettore ortogonale (ortogonale a $\vec i - \vec j$ e $\vec j + \vec k$), significa aggiungere zero alla proiezione.
Quindi devi trovare un vettore ortogonale a quelli su cui vai a fare la proiezione e da li aggiungere e togliere per soddisfare l'altra condizione.