Proiezioni
Nello spazio, sono dati due piani a, b che si intersecano nella retta t , ed una circonferenza C nel piano a.
Come si deve scegliere il punto O perché la proiezione da O di C su b sia un’iperbole?
Come si deve scegliere il punto O perché la proiezione da O di C su b sia un’iperbole?
Risposte
Ciao Beatrice67,
hai proposto un bel problema.
Un mio consiglio nel risolvere problemi di geometria nello spazio $\mathbb{R}^3$, se posso permettermi, è quello di cercare di visualizzarli con un disegno, laddove possibile, in casi particolari - almeno inizialmente.
Nel tuo caso io ho avuto una mezza idea (e spero sia giusta
) disegnando due piani ortogonali fra loro, il piano $a:z=0$ e il piano $b:y=0$.
La circonferenza l'ho messa in modo che non avesse alcuna intersezione con la retta $t$. Naturalmente si tratta di casi particolari.
Poi ho osservato che certamente, se da un punto proietto una conica, in questo caso una circonferenza, su un altro piano ottengo ancora una conica. E che fra le coniche (ellisse, parabola, iperbole) l'iperbole è l'unica che è formata da due "pezzi" (o detto in linguaggio matematico da due componenti connesse).
Bene, a questo punto la domanda è: dove deve essere il punto $O$ affinchè la proiezione di $C$ su $b$ sia formata da due pezzi?
Prendi questo mio post con il beneficio del dubbio, io non sono ancora giunto alla soluzione precisa, ho solo un'idea.
Anzi se qualche utente può smentire/confermare/aiutarmi, ne sarei ben lieto.
Ciao!
hai proposto un bel problema.
Un mio consiglio nel risolvere problemi di geometria nello spazio $\mathbb{R}^3$, se posso permettermi, è quello di cercare di visualizzarli con un disegno, laddove possibile, in casi particolari - almeno inizialmente.
Nel tuo caso io ho avuto una mezza idea (e spero sia giusta
) disegnando due piani ortogonali fra loro, il piano $a:z=0$ e il piano $b:y=0$. La circonferenza l'ho messa in modo che non avesse alcuna intersezione con la retta $t$. Naturalmente si tratta di casi particolari.
Poi ho osservato che certamente, se da un punto proietto una conica, in questo caso una circonferenza, su un altro piano ottengo ancora una conica. E che fra le coniche (ellisse, parabola, iperbole) l'iperbole è l'unica che è formata da due "pezzi" (o detto in linguaggio matematico da due componenti connesse).
Bene, a questo punto la domanda è: dove deve essere il punto $O$ affinchè la proiezione di $C$ su $b$ sia formata da due pezzi?
Prendi questo mio post con il beneficio del dubbio, io non sono ancora giunto alla soluzione precisa, ho solo un'idea.
Anzi se qualche utente può smentire/confermare/aiutarmi, ne sarei ben lieto.
Ciao!
Ciao cirasa 
Si ho provato in tutti i modi facendo un disegno, ma non riesce mai una soluzione che sia quella chiesta.
Se l'occhio non sta sul piano a ciò che io potrò vedere sarà soltanto un'ellisse...
Ciò su cui nutro ancora dubbi è se l'occhio sta sul piano a...infatti riesco a intravedere una curva che non sia un'ellisse , ma ha solo un pezzo
Quindi non so cosa fare...aiuto!
Si ho provato in tutti i modi facendo un disegno, ma non riesce mai una soluzione che sia quella chiesta.
Se l'occhio non sta sul piano a ciò che io potrò vedere sarà soltanto un'ellisse...
Ciò su cui nutro ancora dubbi è se l'occhio sta sul piano a...infatti riesco a intravedere una curva che non sia un'ellisse , ma ha solo un pezzo
Quindi non so cosa fare...aiuto!
Secondo me, un'idea potrebbe essere quella di pensare alle coniche come intersezione di un piano con un cono a due falde.
A meno di una rototraslazione possiamo supporre che il piano $a$ sia il piano $xy$ (io lo sto immaginando orizzontale) di equazione $z=0$.
Sicuramente il punto $O$ non sarà sul piano $a$ perchè altrimenti la proiezione rispetto ad $O$ sul piano $b$ di ogni punto della circonferenza andrebbe a finire sulla retta $t$. Quindi non sarebbe un'iperbole.
Tieni conto che le rette che congiungono i punti di $C$ con $O$ formano un cono quadrico di vertice $O$ (il cosiddetto cono a due falde).
E allora come deve essere posto il piano $b$ affinchè le proiezioni formino un'iperbole?
Forse può aiutarti la seconda immagine all'indirizzo
http://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_conica
Sinceramente non sono giunto a formulare con precisione la soluzione finale, però secondo me la strada dovrebbe essere questa.
Saluti!
A meno di una rototraslazione possiamo supporre che il piano $a$ sia il piano $xy$ (io lo sto immaginando orizzontale) di equazione $z=0$.
Sicuramente il punto $O$ non sarà sul piano $a$ perchè altrimenti la proiezione rispetto ad $O$ sul piano $b$ di ogni punto della circonferenza andrebbe a finire sulla retta $t$. Quindi non sarebbe un'iperbole.
Tieni conto che le rette che congiungono i punti di $C$ con $O$ formano un cono quadrico di vertice $O$ (il cosiddetto cono a due falde).
E allora come deve essere posto il piano $b$ affinchè le proiezioni formino un'iperbole?
Forse può aiutarti la seconda immagine all'indirizzo
http://it.wikipedia.org/wiki/Sezione_conica
Sinceramente non sono giunto a formulare con precisione la soluzione finale, però secondo me la strada dovrebbe essere questa.
Saluti!
Grazie ancora, mi sa che ho risolto...
Posterò la soluzione quando avrò la certezza che è corretta
Posterò la soluzione quando avrò la certezza che è corretta
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