Proiezione su una retta...
Determinare nel piano euclideo la proiezione ortogonale del punto \(\displaystyle (−5,−4) \) sulla retta \(\displaystyle r : x + 4y + 4 = 0 \)
per trovare la proiezione ortogonale ho fatto la seguente operazione \(\displaystyle v_r = (vw)w\) dove \(\displaystyle v \) è il vettore dato dal esercizio e \(\displaystyle r \) è il vettore direzione della retta \(\displaystyle r \)..quindi \(\displaystyle v_r = [(-5 , -4)(-4 , 1)] (-4 , 1) \) e da qui risulta che la proiezione di \(\displaystyle v \) è \(\displaystyle u = (-80 , -4) \) ma questo risultato non mi convince..i numeri escono troppo grandi..il procedimento l'ho preso dal libro a questo punto il dubbio mi viene sui calcoli..lo rifatto varie volte e m'esce sempre lo stesso risultato..qualcuno mi può controllare gentilmente questo esercizio?Grazie
per trovare la proiezione ortogonale ho fatto la seguente operazione \(\displaystyle v_r = (vw)w\) dove \(\displaystyle v \) è il vettore dato dal esercizio e \(\displaystyle r \) è il vettore direzione della retta \(\displaystyle r \)..quindi \(\displaystyle v_r = [(-5 , -4)(-4 , 1)] (-4 , 1) \) e da qui risulta che la proiezione di \(\displaystyle v \) è \(\displaystyle u = (-80 , -4) \) ma questo risultato non mi convince..i numeri escono troppo grandi..il procedimento l'ho preso dal libro a questo punto il dubbio mi viene sui calcoli..lo rifatto varie volte e m'esce sempre lo stesso risultato..qualcuno mi può controllare gentilmente questo esercizio?Grazie
Risposte
Innanzitutto fissiamo sul piano euclideo $ \mathbb{E}^2 $ un riferimento ortonormale $ \mathcal{R} = (O, B) $; in questo modo, il prodotto scalare tra due vettori dello spazio vettoriale associato ad $ \mathbb{E}^2 $ in componenti rispetto a $ B $ si esprime così:
$ \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} $ = $ ^t[\mathbf{v}]_B [\mathbf{w}]_B $
Sia $ [\mathbf{v}]_B = ((-5), (−4)) $ e sia $ \mathbf{v}_r $ un vettore di direzione di $ r $ (quello da te scelto è corretto). La proiezione ortogonale di $ \mathbf{v} $ su $ \mathcal{L}(\mathbf{v}_r) $ è
$ p_{\mathcal{L}(\mathbf{v}_r)}(\mathbf{v}) = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_r) $ $ \mathbf{e}_r $
dove $ \mathbf{e}_r = \frac{\mathbf{v}_r}{|| \mathbf{v}_r ||} $.
Quanto ti viene ora la proiezione?
$ \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} $ = $ ^t[\mathbf{v}]_B [\mathbf{w}]_B $
Sia $ [\mathbf{v}]_B = ((-5), (−4)) $ e sia $ \mathbf{v}_r $ un vettore di direzione di $ r $ (quello da te scelto è corretto). La proiezione ortogonale di $ \mathbf{v} $ su $ \mathcal{L}(\mathbf{v}_r) $ è
$ p_{\mathcal{L}(\mathbf{v}_r)}(\mathbf{v}) = (\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_r) $ $ \mathbf{e}_r $
dove $ \mathbf{e}_r = \frac{\mathbf{v}_r}{|| \mathbf{v}_r ||} $.
Quanto ti viene ora la proiezione?
ho capito dove ho sbagliato...usavo il vettore direzione della retta così com'era... un'ultima cosa...come fai a dividere un vettore per il suo modulo?dividi ogni sua coordinata per il modulo?
Certamente.
Comunque, la proiezione usata fino ad ora non fornisce la risposta richiesta dall'esercizio.
Tu devi proiettare $ P $ su $ r $, mentre noi abbiamo finora ragionato soltanto su vettori e sottospazi vettoriali associati.
Dato che siamo nel piano, la proiezione ortogonale di $ P $ su $ r $ è il punto $ Q = r \cap s $, dove $ P \in s $ e $ s $ $ \bot $ $ r $.
Chi è $ s $?
P.S.: il motivo per cui ti ho mostrato la proiezione di un vettore su un sottospazio (anziché quella corretta) era per mostrarti cosa non andava nei tuoi calcoli.
Comunque, la proiezione usata fino ad ora non fornisce la risposta richiesta dall'esercizio.
Tu devi proiettare $ P $ su $ r $, mentre noi abbiamo finora ragionato soltanto su vettori e sottospazi vettoriali associati.
Dato che siamo nel piano, la proiezione ortogonale di $ P $ su $ r $ è il punto $ Q = r \cap s $, dove $ P \in s $ e $ s $ $ \bot $ $ r $.
Chi è $ s $?
P.S.: il motivo per cui ti ho mostrato la proiezione di un vettore su un sottospazio (anziché quella corretta) era per mostrarti cosa non andava nei tuoi calcoli.
è un casino questo esercizio..e non sembrava.....comunque..grazie per le risposte..
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