Proiezione ortogonale su sottospazio
buonasera a tutti. oggi sono alle prese con questo esercizio:
Si consideri $RR^3$ con il prodotto scalare canonico. Sia $W = (: ((-2),(1),(-2)) :)^\bot$. Si indichi $a in RR^3$ tale che
$||a|| = 5$
la proiezione ortogonale di a su W sia $a' = ((2),(2),(-1))$.
io ho ragionato nel seguente modo: innanzitutto ho trovato una base di W: $(: ((1),(2),(0))$,$((0),(2),(1)):)$. ora, $a'$ appartiene a W (ne è combinazione lineare) quindi $a$ apparterrà allo spazio ortogonale a W cioè $(: ((-2),(1),(-2)) :)$. quindi pongo $a = x((-2),(1),(-2)) = ((-2x),(x),(-2x))$. infine, sapendo che $||a|| = 5$, impongo $ sqrt(4x^2+x^2+4x^2) = 5$ da cui $ x = pm 5/3 $.
un'$a$ sarà quindi, per esempio, $((-10/3),(5/3),(-10/3))$. è giusto?
Si consideri $RR^3$ con il prodotto scalare canonico. Sia $W = (: ((-2),(1),(-2)) :)^\bot$. Si indichi $a in RR^3$ tale che
$||a|| = 5$
la proiezione ortogonale di a su W sia $a' = ((2),(2),(-1))$.
io ho ragionato nel seguente modo: innanzitutto ho trovato una base di W: $(: ((1),(2),(0))$,$((0),(2),(1)):)$. ora, $a'$ appartiene a W (ne è combinazione lineare) quindi $a$ apparterrà allo spazio ortogonale a W cioè $(: ((-2),(1),(-2)) :)$. quindi pongo $a = x((-2),(1),(-2)) = ((-2x),(x),(-2x))$. infine, sapendo che $||a|| = 5$, impongo $ sqrt(4x^2+x^2+4x^2) = 5$ da cui $ x = pm 5/3 $.
un'$a$ sarà quindi, per esempio, $((-10/3),(5/3),(-10/3))$. è giusto?
Risposte
Bord!
Non mi tornano due cose... come mai sei andato a trovare una base di W?
Sei sicuro che $a in W$?
Secondo me basta che tu faccia una cosa:
verificare che:
$a'*((-2),(1),(-2))=0$... Il che lo vedi subito a occhio...
a questo punto $a$ deve essere combinazione lineare dei due vettori...
$a=s((-2),(1),(-2))+t((2),(2),(-1))=((-2s+2t),(s+2t),(-2s-t))$
Devo ora calcolarmi la norma di $a$ con i parametri $s$ e $t$ e quindi uguagliarla a 5.
Io so che $s=1$.
quindi facendo tale uguaglianza mi troverò il parametro $t$.
ti dico il risultato: se non ho sbagliato i conti: $t=+-4/3$
Scelgo ad esempio + e otterrò un vettore $a$.
Se non torna il mio ragionamento fatemi sapere...XD
Grazie!
Non mi tornano due cose... come mai sei andato a trovare una base di W?
Sei sicuro che $a in W$?
Secondo me basta che tu faccia una cosa:
verificare che:
$a'*((-2),(1),(-2))=0$... Il che lo vedi subito a occhio...
a questo punto $a$ deve essere combinazione lineare dei due vettori...
$a=s((-2),(1),(-2))+t((2),(2),(-1))=((-2s+2t),(s+2t),(-2s-t))$
Devo ora calcolarmi la norma di $a$ con i parametri $s$ e $t$ e quindi uguagliarla a 5.
Io so che $s=1$.
quindi facendo tale uguaglianza mi troverò il parametro $t$.
ti dico il risultato: se non ho sbagliato i conti: $t=+-4/3$
Scelgo ad esempio + e otterrò un vettore $a$.
Se non torna il mio ragionamento fatemi sapere...XD
Grazie!
"Andrea990":
Sei sicuro che $a in W$?
non è $a$ che $in W$ ma è $a'$ che $in W$! infatti come ho detto ne è combinazione lineare.. io mi sono fatto un disegno per capire la situazione che è analogo a quello fatto da sergio qui http://www.matematicamente.it/forum/esercizio-proiezione-ortogonale-t51137.html
in ogni caso io ho svolto i tuoi conti e mi torna $a = ((-2+8/3),(1+8/3),(-2-4/3)) = ((2/3),(11/3),(-10/3))$, quindi $||a|| = sqrt((175/3)) $ (correggimi se sbaglio).
speriamo che qualcuno più esperto di noi ci tolga ogni dubbio!!
anche perchè l'esame è domani! 
Io ti posso assicurare che il mio esercizio è corretto...
Non hai bisogno di trovarti la base di W... Anche perché conosci già la proiezione ortogonale...
Seconda cosa ho sbagliato a scrivere:
a non appartiene allo spazio ortogonale a W, è la combinazione lineare del vettore -2 1 -2 che conosci con la proiezione ortogonale...
la componente normale non è altro che multiplo del vettore -2 1 -2!
non è uguale a quello che avevo chiesto l'altra volta...
lì dovevo trovare la proiezione ortogonale...
comunque la $a$ che cerchi qui è uguale alla $z_0$ dell'esercizio che mi hai mandato il link...
ne sono certo...
anche perché sennò che senso avrebbe l'esercizio?
è scritto tutto sul libro... la formula da prendere è:
$w=w'+h$
Ti torna?
Scusa, ma è così che si fa...
Non hai bisogno di trovarti la base di W... Anche perché conosci già la proiezione ortogonale...
Seconda cosa ho sbagliato a scrivere:
a non appartiene allo spazio ortogonale a W, è la combinazione lineare del vettore -2 1 -2 che conosci con la proiezione ortogonale...
la componente normale non è altro che multiplo del vettore -2 1 -2!
non è uguale a quello che avevo chiesto l'altra volta...
lì dovevo trovare la proiezione ortogonale...
comunque la $a$ che cerchi qui è uguale alla $z_0$ dell'esercizio che mi hai mandato il link...
ne sono certo...
anche perché sennò che senso avrebbe l'esercizio?
è scritto tutto sul libro... la formula da prendere è:
$w=w'+h$
Ti torna?
Scusa, ma è così che si fa...
ok andre ora mi torna! ti spiego cosa avevo combinato: avevo impostato l'esercizio nel modo giusto inizialmente. poi, calcolando la norma, ho sbagliato dei conti (che ritenevo invece giusti) e non mi tornava più niente. quindi, cercando altri esercizi simili, devo aver fatto confusione impostando una risoluzione sbagliata..
ricapitolando ti dico la risoluzione (stavolta spero giusta). dimmi se va bene:
allora, io so che $a = a' + h$ dove h è la componente normale di $a$ rispetto a $W$ tale che $\{(h in RR^3),(h bot W):}$. $h$ sarà quindi combinazione lineare (o meglio multiplo) di $((-2),(1),(-2))$ quindi $a = a' + h = ((2),(2),(-1)) + ((-2x),(x),(-2x)) = ((2-2x),(2+x),(-1-2x))$.
ora resta solo da impostare $||a|| = 5$ da cui $x = pm4/3$. ne scelgo uno e ottengo il vettore $a$ richiesto..
ricapitolando ti dico la risoluzione (stavolta spero giusta). dimmi se va bene:
"bord89":
Si consideri $RR^3$ con il prodotto scalare canonico. Sia $W = (: ((-2),(1),(-2)) :)^\bot$. Si indichi $a in RR^3$ tale che
$||a|| = 5$
la proiezione ortogonale di a su W sia $a' = ((2),(2),(-1))$.
allora, io so che $a = a' + h$ dove h è la componente normale di $a$ rispetto a $W$ tale che $\{(h in RR^3),(h bot W):}$. $h$ sarà quindi combinazione lineare (o meglio multiplo) di $((-2),(1),(-2))$ quindi $a = a' + h = ((2),(2),(-1)) + ((-2x),(x),(-2x)) = ((2-2x),(2+x),(-1-2x))$.
ora resta solo da impostare $||a|| = 5$ da cui $x = pm4/3$. ne scelgo uno e ottengo il vettore $a$ richiesto..
Perfetto...^^... Scusa ma mi sono preoccupato...^^... per un attimo ho pensato di aver perso una settimana di studio...^^
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