Proiezione ortogonale e norma minima

[Dust1]

Volevo sapere se ho fatto giusto l'esercizio:

"Esercizio":
Siano $bbv=(0,12,3,1)$ e $bbU=<(2,2,1,0),(1,4,-1,0)>$; si determinino la proiezione ortogonale di $bbv$ su $bbU$ ed il vettore di norma minima dell'insieme $bbv+bbU$

Ho fatto così:
mi procuro una base ortonormale di $bbU$ per semplificare i calcoli per trovare la proiezione $p_(r,U)^(_|_)(bbv)$ col procedimento di Gram-Schmidt; detti $bbu_1=(2,2,1,0)$ ed $bbu_2=(1,4,-1,0)$ chiamo $bbw_1=ver(bbu1)=bbu_1/3$ e $bbw_2=ver(bbu_2-(bbu_2@bbw_1)bbw_1)=ver((1,4,-1,0)-(2,2,1,0))=ver((-1,2,-2,0))=(-1,2,-2,0)/3$

così facendo ho trovato una base ortonormale di $RR^4$ ed $bbU=<(2,2,1,0),(1,4,-1,0)> = $ e perciò per trovare la proiezione ortogonale $p_(r,U)^(_|_)(bbv)$ basta fare:

$p_(r,U)^(_|_)(bbv)=(bbv @ bbw_1)w_1+(bbv @ bbw_2)w_2=27/9bbu_1+45/9bbu_2=(11,26,-2,0)$

Ora per trovare il vettore di norma minima di $bbv+bbU$ utilizzo la formula che mi dice che il suddetto vettore è dato da $bbv-(bbv @ bbw_1)w_1=(0,12,3,1)-(11,26,-2,0)=(-11,-14,5,1)$

E' esatto il procedimento?
Volevo poi chiedere un'altra cosa: la norma minima si richiede sempre di un insieme fatto di un vettore e di un sottospazio(una varietà lineare)?

Spero di aver fatto giusto e che magari qualcuno possa prendere spunto. Ciao

[_Tipper]

La proriezione ortogonale mi pare fatta bene.

[Dust1]

Altro piccolo quesito sugli spazi ortogonali. Ho un esercizio in cui devo trovare una base ortonormale di $bbV=<(1,1,1,1),(0,1,-1,0),(0,1,1,2)>$ e poi mi dice di estenderla ad una base di $RR^4$. Qua posso prendere il 4° vettore da $V^(_|_)$ che ho calcolato e viene $<(1,-1,-1,1)>$ e utilizzare Gram-Schimdt sui 4 vettori $(1,1,1,1),(0,1,-1,0),(0,1,1,2),(1,-1,-1,1)$ per trovare una base ortonormale che generi tutto $RR^4$?

Grazie, ciao

[_Tipper]

Sì.