Proiezione ortogonale di una retta su un piano dato
Buongiorno a tutti.
Esercitandomi per l'esame di Geometria del corso di laurea in Informatica, indirizzo metodologico, mi sono imbattuto in un esercizio per il quale non sono sicuro di aver fornito una corretta risoluzione.
Testo dell'esercizio:
Si considerino la retta $ r:{ ( x=u ),( y=u+1 ),( z=1-u ):} , u$ ed il piano $ pi: x-2y+1=0 $ . Trovare la proiezione ortogonale della retta $r$ sul piano $pi$.
Il mio svolgimento:
Mi sono basato su un esempio proposto nelle dispense del mio corso: ho ricavato l'equazione cartesiana della retta data, ottenendo:
$ r:{ (x-y+1=0 ),( x+z-1=0 ):} $
Ho determinato quindi il fascio di piani avente come sostegno la retta $r$:
$ lambda (x-y+1)+mu (x+z-1)=0 $ , da cui:
$ x(lambda +mu )+y(-lambda )+z(mu )+lambda -mu =0 $
Determino quindi un piano ortogonale a $pi$:
La direzione di $pi$ è data da: $ v=[1, -2, 0] $
Devo quindi determinare una soluzione non banale per l'equazione:
$ (lambda +mu )1 -lambda (-2)+0(mu )=0 $
$ lambda +mu +2lambda =0 $
$ 3lambda +mu =0 $
Una soluzione non banale dell'equazione è data da $lambda=1$ e $mu=-3$
Sostituendo tali valori nel fascio di piani ottengo il piano ortogonale a $pi$ desiderato: $2x+y+3z-4=0$
Infine, intersecando il piano ottenuto con il piano $pi$ dovrei ottenere la proiezione della retta richiesta.
Vi risulta che l'esercizio sia corretto? Sono abbastanza sicuro che del fatto che il piano $2x+y+3z-4=0$ ed il piano $pi$ siano ortogonali poiché il loro prodotto scalare è nullo.
Vi ringrazio anticipatamente.
Esercitandomi per l'esame di Geometria del corso di laurea in Informatica, indirizzo metodologico, mi sono imbattuto in un esercizio per il quale non sono sicuro di aver fornito una corretta risoluzione.
Testo dell'esercizio:
Si considerino la retta $ r:{ ( x=u ),( y=u+1 ),( z=1-u ):} , u$ ed il piano $ pi: x-2y+1=0 $ . Trovare la proiezione ortogonale della retta $r$ sul piano $pi$.
Il mio svolgimento:
Mi sono basato su un esempio proposto nelle dispense del mio corso: ho ricavato l'equazione cartesiana della retta data, ottenendo:
$ r:{ (x-y+1=0 ),( x+z-1=0 ):} $
Ho determinato quindi il fascio di piani avente come sostegno la retta $r$:
$ lambda (x-y+1)+mu (x+z-1)=0 $ , da cui:
$ x(lambda +mu )+y(-lambda )+z(mu )+lambda -mu =0 $
Determino quindi un piano ortogonale a $pi$:
La direzione di $pi$ è data da: $ v=[1, -2, 0] $
Devo quindi determinare una soluzione non banale per l'equazione:
$ (lambda +mu )1 -lambda (-2)+0(mu )=0 $
$ lambda +mu +2lambda =0 $
$ 3lambda +mu =0 $
Una soluzione non banale dell'equazione è data da $lambda=1$ e $mu=-3$
Sostituendo tali valori nel fascio di piani ottengo il piano ortogonale a $pi$ desiderato: $2x+y+3z-4=0$
Infine, intersecando il piano ottenuto con il piano $pi$ dovrei ottenere la proiezione della retta richiesta.
Vi risulta che l'esercizio sia corretto? Sono abbastanza sicuro che del fatto che il piano $2x+y+3z-4=0$ ed il piano $pi$ siano ortogonali poiché il loro prodotto scalare è nullo.
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
Ti ringrazio, gentilissimo 
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