Proiezione ortogonale di una retta su un piano

[21ire]

Ciao a tutti
ho un problemino con un esercizio, il testo mi pone in un riferimento nello spazio $R =(0; x, y; z)$
mi viene data una retta e un piano, entrambi in forma cartesiana, chiedendo la proiezione ortogonale della retta data sul piano
io avevo letto che era necessario trasformare la retta in parametrica e intersecarla con il piano che dipende dall'incognita a cui ho assegnato il parametro. mi spiego meglio, se nella forma parametrica della retta assegno il parametro t alla variabile z, il generico piano $ ax+by+cz+d=0$ lo scriverò come $cz=-ax--by-d$ per poi andare a sostituire il valore alla parametro della mia retta...
L'esercizio però non risulta... Dove sbaglio? o meglio, c'è qualcosa di giusto nel procedimento?

Grazie tante sempre per la vostra cortesia!

Irene

[vict85]

Alla forma cartesiana \(\displaystyle ax + by + cz + d = 0 \) è associato il vettore \(\displaystyle \mathbf{v} = a\mathbf{i}+ b\mathbf{j} + c\mathbf{k} \). Questo vettore corrisponde alla direzione perpendicolare al piano.

Prendi quindi due piani. Il vettore direzione della retta che ne è intersezione è il prodotto vettoriale dei due vettori perpendicolari alla retta data. Quindi ci saranno \(\displaystyle \mathbf{u} \) e \(\displaystyle \mathbf{w} \) tali che \(\displaystyle \mathbf{r} = \mathbf{u} \times \mathbf{w} \).

Ora il problema di chiede di trovare \(\displaystyle \mathbf{r} - \langle \mathbf{r}, \mathbf{v}\rangle\mathbf{v} = \mathbf{u} \times \mathbf{w} - \langle \mathbf{u} \times \mathbf{w}, \mathbf{v}\rangle\mathbf{v} \). Dove la formula dipende dal fatto che sto sottraendo al vettore \(\displaystyle \mathbf{r} \) la sua componente lungo \(\displaystyle \mathbf{v} \). Tieni conto che il valore \(\displaystyle \langle \mathbf{u} \times \mathbf{w}, \mathbf{v}\rangle \) prende il nome di prodotto triplo ed è di fatto un determinante.

[21ire]

ok perfetto proverò a svolgerlo! grazie mille