Proiezione ortogonale di una conica

[riciloma]

Salve a tutti, sto cercando di classificare una conica, descritta dalle equazioni $ H: {(x-1)^2 -y = 0;z=-x+2} $ . La soluzione dell'esercizio dice testualmente

H è l’intersezione di un cilindro parabolico con direttrici parallele all’asse z e il piano $ x+z−2 = 0 $.
La sua proiezione ortogonale sul piano $ z = 0 $ risulta essere la parabola di tale piano di equazione
$ y = x^2 − 2x + 1 $, quindi anche H è una parabola.

Non mi è chiaro come possa ricavare la proiezione ortogonale di una conica, sempre che sia questo ciò che la soluzione intende (effettivamente intersecando il cilindro con $ z=0 $ e quindi considerando solo il piano xy si ottiene una parabola di equazione $ y = x^2 − 2x + 1 $). Potreste aiutarmi?

[spugna2]

Un punto generico della conica è $(x,(x-1)^2,-x+2)$: la proiezione si ottiene semplicemente mandando a $0$ la terza coordinata, ottenendo così i punti $(x,(x-1)^2,0)$, che nel piano $xy$ formano la parabola di equazione $y=(x-1)^2$.

[riciloma]

"spugna":Un punto generico della conica è $(x,(x-1)^2,-x+2)$: la proiezione si ottiene semplicemente mandando a $0$ la terza coordinata, ottenendo così i punti $(x,(x-1)^2,0)$, che nel piano $xy$ formano la parabola di equazione $y=(x-1)^2$.

Capito! Quindi basta esprimere un punto usando le equazioni (cartesiani o parametriche) e annullare il piano non voluto. Grazie.

Visto che ci sono, faccio un'ultima domanda sempre sullo stesso esercizio: viene chiesto di trovare l'equazione del cono che ha come vertice $V(1,0,0)$ ed ha $H$ come direttrice.

La soluzione più immediata, dato che il cono è il luogo di rette che passano per il vertice, dovrebbe essere quella di costruire la tipica retta passante per $V$ che ha come parametri direttori quelli ricavati dalla conica in forma parametrica, ovvero
${x = 1+t; y = t^2; z = 1-t}$.
Ora, il cono dovrebbe essere così scritto ${x=1 + (1+t)u; y=0 + t^2u; z =0+ (1-t)u}$ ma la soluzione riporta la prima equazione come $x=1 + (1+t-1)u$.
Infatti il mio cono è irrisolvibile, ma il cono cercato è $y(z + x − 1) = (x − 1)^2$ e francamente non capisco quel $-1$ nel parametro direttore di x.
Dici che è un errore del testo?

[spugna2]

L'idea mi sembra giusta, ma sbagli a scrivere la retta passante per $P(t+1,t^2,1-t)$ e $V(1,0,0)$: devi prendere le combinazioni affini di questi due punti, cioè $uP+(1-u)V$ al variare di $u in RR$, e viene $(1-u+(t+1)u,t^2u,(1-t)u)=(1+tu,t^2u,(1-t)u)$, che va d'accordo con la soluzione che hai scritto.

[riciloma]

"spugna":L'idea mi sembra giusta, ma sbagli a scrivere la retta passante per $P(t+1,t^2,1-t)$ e $V(1,0,0)$: devi prendere le combinazioni affini di questi due punti, cioè $uP+(1-u)V$ al variare di $u in RR$, e viene $(1-u+(t+1)u,t^2u,(1-t)u)=(1+tu,t^2u,(1-t)u)$, che va d'accordo con la soluzione che hai scritto.

Scusami, effettivamente gli spazi affini non erano parte del programma di studio del corso, ma come faccio a sapere che proprio quel $(1-)$ di $(1-u)V$ mi trova le combinazioni affini?
Ho dato un'occhiata alle definizioni ma non ho colto, è tutto sugli spazi vettoriali (magari non ho cercato bene su google )