Proiezione ortogonale di un vettore su un piano.
Ciao a tutti. Domani ho di nuovo l'esame di geometria e mi sono accorta di aver dato per scontati alcuni esercizi che in realtà non ricordo come si svolgano.
Purtroppo ho lasciato sia i libri, sia gli esercizi che già avevo svolto, a casa (ora sono nella "casa universitaria", chiamiamola così) ed ho un dubbio riguardo questo esercizio:
Nello spazio euclideo standard [tex]E^3[/tex], determinare la proiezione ortogonale del vettore V= (1,1,3) sul piano di equazione cartesiana 2x-y+z=0
Sinceramente non ricordo bene cosa bisogna fare, mi dispiace, anche se una vaga idea me la sono fatta. Spero che possiate aiutarmi ugualmente!
Grazie!
Purtroppo ho lasciato sia i libri, sia gli esercizi che già avevo svolto, a casa (ora sono nella "casa universitaria", chiamiamola così) ed ho un dubbio riguardo questo esercizio:
Nello spazio euclideo standard [tex]E^3[/tex], determinare la proiezione ortogonale del vettore V= (1,1,3) sul piano di equazione cartesiana 2x-y+z=0
Sinceramente non ricordo bene cosa bisogna fare, mi dispiace, anche se una vaga idea me la sono fatta. Spero che possiate aiutarmi ugualmente!
Grazie!
Risposte
Ok ti do giusto un hint:
Scrivi il piano nella forma $$ (ovvero come spazio vettoriale generato da due vettori)
Poi completa a base di $E^3$ aggiungendo un vettore linearmente indipendente $v_1,v_2,v_3$.
A questo punto riscrivi il vettore $v$ nella nuova base come $v=a*v_1+b*v_2+c*v_3$
La proiezione di $v$ sul piano sarà $P(v)=a*v_1+b*v_2$
Scrivi il piano nella forma $
Poi completa a base di $E^3$ aggiungendo un vettore linearmente indipendente $v_1,v_2,v_3$.
A questo punto riscrivi il vettore $v$ nella nuova base come $v=a*v_1+b*v_2+c*v_3$
La proiezione di $v$ sul piano sarà $P(v)=a*v_1+b*v_2$
Ok, ora ci provo. Premetto che vengo dal classico e non ho alcuna base scientifica purtroppo; e fare cose di questo genere mi resta molto ma molto difficile, pur avendo seguito le lezioni.
Tuttavia mi ci sono scervellata tutto il giorno su quest'esercizio, provo a fare come mi hai detto tu, vediamo che ne esce fuori
Grazie mille!
Tuttavia mi ci sono scervellata tutto il giorno su quest'esercizio, provo a fare come mi hai detto tu, vediamo che ne esce fuori
Grazie mille!
Ok, ci sono riuscita. Lascio come l'ho svolto io per altri che leggeranno e accetto ben volentieri consigli/critiche!
Allora, ho trovato prima un vettore appartenente al piano: [tex]V_1[/tex] (1,1,-1) e ho scritto la sua equazione cartesiana: x+y-z=0.
Poi ho fatto l'intersezione tra 2x-y+z=0 e x+y-z=0 in modo tale da trovare, sostituendo, un altro vettore [tex]V_2[/tex] (0,1,1).
A questo punto li ho normalizzati entrambi: [tex](1,1,-1)/[/tex]$ sqrt(3) $ e [tex](0,1,1)/[/tex]$ sqrt(2) $.
Infine ho fatto il prodotto scalare tra il vettore iniziale V (1,1,3) e il vettore [tex]V_1[/tex] (1,1,-1) e l'ho moltiplicato per [tex]V_1[/tex] normalizzato; stessa cosa ho fatto con l'altro vettore [tex]V_2[/tex] (0,1,1). Poi li ho sommati ed ho trovato il risultato.
Va bene lo stesso così?
Allora, ho trovato prima un vettore appartenente al piano: [tex]V_1[/tex] (1,1,-1) e ho scritto la sua equazione cartesiana: x+y-z=0.
Poi ho fatto l'intersezione tra 2x-y+z=0 e x+y-z=0 in modo tale da trovare, sostituendo, un altro vettore [tex]V_2[/tex] (0,1,1).
A questo punto li ho normalizzati entrambi: [tex](1,1,-1)/[/tex]$ sqrt(3) $ e [tex](0,1,1)/[/tex]$ sqrt(2) $.
Infine ho fatto il prodotto scalare tra il vettore iniziale V (1,1,3) e il vettore [tex]V_1[/tex] (1,1,-1) e l'ho moltiplicato per [tex]V_1[/tex] normalizzato; stessa cosa ho fatto con l'altro vettore [tex]V_2[/tex] (0,1,1). Poi li ho sommati ed ho trovato il risultato.
Va bene lo stesso così?
Credo tu stia confondendo l'algoritmo di ortogonalizzazione di Gram-Smith...
Non so se è corretto quello che hai fatto ma io ti avevo dato altre indicazioni (non erano previsti prodotti scalari)
Prova a vedere se ottieni lo stesso risultato
Non so se è corretto quello che hai fatto ma io ti avevo dato altre indicazioni (non erano previsti prodotti scalari)
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