Proiezione ortogonale di un vettore su un altro
Salve 
Stavo guardandomi l'algoritmo di Gram-Schmidt per l'ortonormalizzazione e ho trovato che la proiezione ortogonale di un generico vettore $ v $ su un altro $ u $ è :
$ proj_uv= ()/()u $
Ragionando per semlicità su due vettori del piano questa formula non mi torno e anzi mi parrebbe più logica la formula:
$ proj_uv= ()/|u|u $
QUesto pecrchè so che:
$ = |u\|*|v|cosalpha $
Che lo posso interpretare come la lunghezza della proiezione di $ v $ su $ u $ per la lunghezza del vettore $ u $ stesso.
Dunque se volessi il solo vettore proiezione di $ v $ su $ u $ dovrei dividere il prodotto scalare per il solo modulo di $ |u| $ , cioè per la lunghezza di $ u $ in modo che le due lunghezze di questo vettore a numeratore e denominatore si semplifichino in un certo senso....
Delucidazioni a riguardo?
grazie.
Stavo guardandomi l'algoritmo di Gram-Schmidt per l'ortonormalizzazione e ho trovato che la proiezione ortogonale di un generico vettore $ v $ su un altro $ u $ è :
$ proj_uv= (
Ragionando per semlicità su due vettori del piano questa formula non mi torno e anzi mi parrebbe più logica la formula:
$ proj_uv= (
QUesto pecrchè so che:
$
Che lo posso interpretare come la lunghezza della proiezione di $ v $ su $ u $ per la lunghezza del vettore $ u $ stesso.
Dunque se volessi il solo vettore proiezione di $ v $ su $ u $ dovrei dividere il prodotto scalare per il solo modulo di $ |u| $ , cioè per la lunghezza di $ u $ in modo che le due lunghezze di questo vettore a numeratore e denominatore si semplifichino in un certo senso....
Delucidazioni a riguardo?
grazie.
Risposte
Ciao.
La lunghezza della proiezione del vettore $vec v$ lungo il vettore $vec u$ dovrebbe essere data da:
$|P_{vec u} vec v|=v*cos alpha=(u*v*cos alpha)/u$, dove, $alpha$ è l'angolo tra i due vettori dati.
Allora, per ottenere il vettore $P_{vec u} vec v$, è sufficiente moltiplicare $|P_{vec u} vec v|$ per il versore $hat u=(vecu)/u$, che ha stessa direzione e stesso verso del vettore $vecu$.
Quindi:
$P_{vec u} vec v=|P_{vec u} vec v|* hatu=(u*v*cos alpha)/u*(vecu)/u=()/()*vecu$ (effettuando, al denominatore, la sostituzione $u^2=$).
Saluti.
La lunghezza della proiezione del vettore $vec v$ lungo il vettore $vec u$ dovrebbe essere data da:
$|P_{vec u} vec v|=v*cos alpha=(u*v*cos alpha)/u$, dove, $alpha$ è l'angolo tra i due vettori dati.
Allora, per ottenere il vettore $P_{vec u} vec v$, è sufficiente moltiplicare $|P_{vec u} vec v|$ per il versore $hat u=(vecu)/u$, che ha stessa direzione e stesso verso del vettore $vecu$.
Quindi:
$P_{vec u} vec v=|P_{vec u} vec v|* hatu=(u*v*cos alpha)/u*(vecu)/u=(
Saluti.
grazie mille
In pratica un "u" che sta al denominatore è per semplificare quello che sta a numeratore in modo da considerare solo la lunghezza della proiezione e non la lunghezza della proiezione per la lunghezza di u.
E il secondo u che sta a denominatore (o meglio il modulo) serve per normalizzare il vettore u nel corrispettivo versore...
In pratica un "u" che sta al denominatore è per semplificare quello che sta a numeratore in modo da considerare solo la lunghezza della proiezione e non la lunghezza della proiezione per la lunghezza di u.
E il secondo u che sta a denominatore (o meglio il modulo) serve per normalizzare il vettore u nel corrispettivo versore...
Affermativo.
Saluti.
Saluti.
Nota comunque che in algebra lineare la tua definizione di prodotto scalare è falsa, infatti è il coseno ad essere definito da quella formula e non viceversa. Risulta che con la definizione di prodotto scalare standard si ha il solito coseno.
In questo senso la proiezione ortogonale di un vettore \(\mathbf{v}\) su un vettore \(\mathbf{u}\) è definito come quel multiplo \(\alpha\mathbf{u}\) di \(\mathbf{u}\) tale che \(\langle\mathbf{v}-\alpha\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle =0\). Ricavando \(\alpha\) da quella formula ricavi la che hai scritto sopra. Usi i calcoli di Alessandro per mostrare che se due vettori sono ortogonali allora il loro angolo è \(\pi/2\) ma a questo in algebra lineare è appunto un teorema e non una definizione.
Riguardo al resto ti ha risposto Alessandro.
In questo senso la proiezione ortogonale di un vettore \(\mathbf{v}\) su un vettore \(\mathbf{u}\) è definito come quel multiplo \(\alpha\mathbf{u}\) di \(\mathbf{u}\) tale che \(\langle\mathbf{v}-\alpha\mathbf{u},\mathbf{u}\rangle =0\). Ricavando \(\alpha\) da quella formula ricavi la che hai scritto sopra. Usi i calcoli di Alessandro per mostrare che se due vettori sono ortogonali allora il loro angolo è \(\pi/2\) ma a questo in algebra lineare è appunto un teorema e non una definizione.
Riguardo al resto ti ha risposto Alessandro.
grazie anche a te per l'ultima precisazione
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