Proiezione ortogonale di un vettore
traccia:
trovare la proiezione ortogonale del vettore v = (1,1,1,1) sul sottospazio U C R ^ 4
con U = {(x1,x2,x3,x4) appartenenti a R ^ 4 \
x1 - x3 - x4 =0
2x1 + 2x2 + x3 =0
svolgimento:
innanzitutto ho trovato i vettori di U:
utilizzando la matrice A, riducendo a scala e sapendo che n-rgA= 2 , ho scelto come due parametri z e t
ho ( z+t, -3|2z - t, z, t)
ho fatto bene?
poi devo trovare la base ortonormale vero?
trovare la proiezione ortogonale del vettore v = (1,1,1,1) sul sottospazio U C R ^ 4
con U = {(x1,x2,x3,x4) appartenenti a R ^ 4 \
x1 - x3 - x4 =0
2x1 + 2x2 + x3 =0
svolgimento:
innanzitutto ho trovato i vettori di U:
utilizzando la matrice A, riducendo a scala e sapendo che n-rgA= 2 , ho scelto come due parametri z e t
ho ( z+t, -3|2z - t, z, t)
ho fatto bene?
poi devo trovare la base ortonormale vero?
Risposte
"ornitorinco91":
poi devo trovare la base ortonormale vero?
No, prima devi scrivere le formule come si deve, come suggerito dal regolamento.
Fatto questo, non vorrei dire una stupidaggine ma non c'è bisogno di avere una base ortonormale per proiettare sul sottospazio: se hai una base, usi quella e basta.
scusami raptor... dalla prossima volta userò il linguaggio come si deve... comunque una volta che trovo la base di U
che formula devo utilizzare per andare avanti?
che formula devo utilizzare per andare avanti?
Devi trovare le proiezioni del vettore sugli elementi della base: i moduli [con segno] di queste proiezioni saranno le componenti del vettore proiezione nella base data.
eh.. e come faccio a trovarli? con gram schimdt?
Magari aprendo un libro di testo?
Spero non sia necessario che citi il regolamento a difesa di questa mia risposta..
Spero non sia necessario che citi il regolamento a difesa di questa mia risposta..
simpatico... se scrivo la domanda è perchè non li so fare... e per cercare di capire dove sbaglio...
ho cercato su internet e non trovo alcuna formula... nè sul testo...
ho cercato su internet e non trovo alcuna formula... nè sul testo...
"ornitorinco91":
eh.. e come faccio a trovarli? con gram schimdt?
Comunque... la reazione di Raptorista è comprensibile. L'obbiettivo qui è di imparare, e si impara solo "sbattendo la testa" sui problemi che non si riesce a risolvere. Poi, chiaro che se uno ha passato due ore su un problema senza risultati, chiede un aiuto, ma di sicuro ha imparato poco.
In ogni caso...
Se $B$ è la base e $[V]_C$ è il vettore di cui cercare le componenti (o i moduli) , si risolve il sistema $BX=V$ e si ottiene un vettore $X$ con le componenti del vettore.
quindi.. dalla base B ho cercato i due vettori che sono (scegliendo z e t come parametri):
$(1,-3/2,1,0),(1,-1,0,1)$
quindi pongo
$(1,-3/2,1,0)(x1,x2,x3,x4)=(1,1,1,1)$
$(1,-1,0,1)(x1,x2,x3,x4)=(1,1,1,1)$
procedo bene?
$(1,-3/2,1,0),(1,-1,0,1)$
quindi pongo
$(1,-3/2,1,0)(x1,x2,x3,x4)=(1,1,1,1)$
$(1,-1,0,1)(x1,x2,x3,x4)=(1,1,1,1)$
procedo bene?
Sbaglio o la base deve essere almeno ortogonale anche se non ortonormale ?
E' più facile calcolare proiezioni ortogonali su una base ortonormale. Un filo meno facile calcolarle su una base ortogonale non normalizzata e più complicato calcolarle su una base non ortogonale (ci sono delle formule ma sono brutte, si usa ad esempio il concetto di base duale, oppure la matrice di Gram). Per informazioni su queste formule consiglio Gohberg - Goldberg, Basic operator theory, primo capitolo.
Quindi, visto che stiamo facendo un esercizio e non siamo interessati alla massima efficienza computazionale, io applicherei Gram-Schmidt e poi calcolerei le proiezioni ortogonali con le formule "facili" a cui siamo abituati.
Quindi, visto che stiamo facendo un esercizio e non siamo interessati alla massima efficienza computazionale, io applicherei Gram-Schmidt e poi calcolerei le proiezioni ortogonali con le formule "facili" a cui siamo abituati.
quindi? che vorresti dire?
"ornitorinco91":
quindi? che vorresti dire?
Un avvertimento: se vuoi che qualcuno ti faccia gli esercizi passo passo stai perdendo tempo qui sopra. Noi siamo abituati a ragionare insieme sui problemi, non a risolvere esercizi a macchinetta.
Quello che volevo dire mi sembra chiaro:
Quindi, visto che stiamo facendo un esercizio e non siamo interessati alla massima efficienza computazionale, io applicherei Gram-Schmidt e poi calcolerei le proiezioni ortogonali con le formule "facili" a cui siamo abituati.
e mi riferisco in particolare a questo tuo post:
"ornitorinco91":
comunque una volta che trovo la base di U
che formula devo utilizzare per andare avanti?
"dissonance":
[quote="ornitorinco91"]quindi? che vorresti dire?
Un avvertimento: se vuoi che qualcuno ti faccia gli esercizi passo passo stai perdendo tempo qui sopra. Noi siamo abituati a ragionare insieme sui problemi, non a risolvere esercizi a macchinetta.
Quello che volevo dire mi sembra chiaro:
Quindi, visto che stiamo facendo un esercizio e non siamo interessati alla massima efficienza computazionale, io applicherei Gram-Schmidt e poi calcolerei le proiezioni ortogonali con le formule "facili" a cui siamo abituati.
e mi riferisco in particolare a questo tuo post:
"ornitorinco91":[/quote]
comunque una volta che trovo la base di U
che formula devo utilizzare per andare avanti?
dissonance il mio commento era per camillo... non avevo visto il tuo
quindi.. dalla base B ho cercato i due vettori che sono (scegliendo z e t come parametri):
$(1,-3/2,1,0),(1,-1,0,1)$
quindi pongo
$(1,-3/2,1,0)(x1,x2,x3,x4)=(1,1,1,1)$
$(1,-1,0,1)(x1,x2,x3,x4)=(1,1,1,1)$
procedo bene?
mi era stato consigliato di fare cosìì..
ps: nessuno vuole fatto gli esercizi
$(1,-3/2,1,0),(1,-1,0,1)$
quindi pongo
$(1,-3/2,1,0)(x1,x2,x3,x4)=(1,1,1,1)$
$(1,-1,0,1)(x1,x2,x3,x4)=(1,1,1,1)$
procedo bene?
mi era stato consigliato di fare cosìì..
ps: nessuno vuole fatto gli esercizi
Hai due vettori della base, tramite il procedimento di Gram-Schmidt rendili ortogonali, poi normalizzali.
Dopo sarà più facile calcolare il vettore proiezione di $bar v $ su $U$.
Dopo sarà più facile calcolare il vettore proiezione di $bar v $ su $U$.
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