Proiezione ortogonale di un punto su un piano dato

[lollo241]

ciao vi posto un esercizio che gia anni fa è stato risolto in parte cioè non è stato completato nei passaggi e calcoli provo io farli tutti vi prego correggetemi ( questo era l'esercizio proiezione-ortogonale-di-un-punto-su-un-piano-dato-t50597.html )
Determinare la proiezione ortogonale del punto P(1, 2, 3) sul piano a : 4x − y + 5z + 1 = 0.
cerco la retta ortogonale il piano a e passante per P :

\( \frac{x-1}{4}={2-y}=\frac{z-3}{5} \)

trovo la retta ponendoli uguali a coppie :

\( \begin{cases} x+4y-9=0 \\ 5y+z-13=0 \end{cases} \)

cerco l'intersezione tra retta e piano,
quindi trasfomo l'equazione cartesiana della retta in parametrica ponendo \( y=t \) :

\( \begin{cases} x=-4t+9 \\ y=t \\ z=-5t+13 \end{cases} \)

sostituisco i valori ottenuti nell'equazione del piano e risolvendo trovo \( t=\frac{17}{7} \)
sostituisco t nell'equazione parametrica della retta e trovo il punto d'intersezione : \( (-\frac{5}{7},\frac{17}{7},8) \) cioè il risultato...grazie della pazienza

[donald_zeka]

Si il risultato è giusto ma hai fatto un passaggio inutile. Sai che il vettore direttore della retta è quello del piano e sai che la retta passa per (1,2,3), la sua equazione è quindi:

x=1+4t
y=2-t
z=3+5t

[lollo241]

Grazie Vulplasir... a me però con l'equazione della retta che hai scritto mi viene t= \( t=\frac{3}{7} \) e il risultato \( (\frac{19}{7},\frac{11}{7},\frac{36}{7}) \)... quindi mi chiedo ho sbagliato o vanno bene entrambi... grazie ancora

[donald_zeka]

Viene $t=-3/7$

[lollo241]

Chiedo scusa ho trovato l'errore ero un po distratto... comunque grazie e scusa ancora