Proiezione ortogonale

[Tafaz]

Sia W = $\{(x+y+z+t=0),(x-y-z+t=0):}$ W appartiene a R4 Sia p la proiezione ortogonale su W determinare la rappresentazione matriciale dell proiezione ortogonale.
Qualcuno può aiutarmi perfavore??? grazieeee

[_prime_number]

Come da regolamento, serve postare i propri tentativi .
Un suggerimento: inizia trovando una base ${w_1,w_2}$ per $W$. Completala a base $\mathcal{B}={w_1,w_2,w_3,w_4}$ di $\mathbb{R}^4$. Dato un vettore $v$ generico scritto secondo la base $\mathcal{B}$, la proiezione su $W$ agirà lasciando costanti le prime due coordinate e "annullando" le ultime due. Dopo di che matrice di passaggio di base per avere tutto in base canonica.
Attendo i tuoi ragionamenti e tentativi

Paola

[Tafaz]

Allora risolvo il sistema e trovo W1 e W2...ma W3 e W4 sono elementi della base canonica? per cercare la proiezione su W si impone l'ortogonalità di un generico v con W1 e W2?

[_prime_number]

$w_3, w_4$ li puoi scegliere nella base canonica, sì. Segui l'algoritmo del completamento della base (oppure se vedi le cose ad occhio tanto meglio).
Sulla seconda domanda: se imponi quella condizione ciò che troverai sono le equazioni del sottospazio ortogonale a $W$, quindi la risposta è no.

Paola

[Tafaz]

Allora io trovo W1=$((1),(0),(0),(-1))$ e W2=$((0),(-1),(1),(0))$ completo la base con E1 e E2. Quindi B =(W1,W2,E1,E2).
Scrivo un vettore V=$((x),(y),(z),(t))$= $\alpha$ $((1),(0),(0),(-1))$ + $\beta$ $((0),(-1),(1),(0))$ + $\gamma$ $((1),(0),(0),(0))$ +$ \delta$ $((0),(1),(0),(0))$

Risolvendo ottengo che $\alpha$=-t $\beta$=z la terza e la seconda non la considero e quindi scrivo:

v=$((x),(y),(z),(t))$ = -t$((1),(0),(0),(-1))$ + z$((0),(-1),(1),(0))$ ottengo $((t),(-z),(z),(-t))$

quindi la rappresentazione matriciale della proiezione ortogonale é:

M= $((0,0,0,-1),(0,0,-1,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))$