Proiezione naturale
salve a tutti
credo di avere chiaro in linea teorica cosa rappresenta la proiezione naturale dall'applicazione $p:V->V//W$ definita da $f(v)=v+W$
dove $V//W$ rappresenta lo spazio quoziente e dunque l'inseme di tutti i sottospazi affini aventi giacitura $W$,in simboli $V//W={v+W: v inV }$
tuttavia non riesco a scriverla in maniera analitica,qualcuno potrebbe farmi qualche esempio del tipo $RR^3->RR^3$?
inoltre se possibile potrei avere la definizione di applicazione lineare "inclusione"?
grazie mille!
credo di avere chiaro in linea teorica cosa rappresenta la proiezione naturale dall'applicazione $p:V->V//W$ definita da $f(v)=v+W$
dove $V//W$ rappresenta lo spazio quoziente e dunque l'inseme di tutti i sottospazi affini aventi giacitura $W$,in simboli $V//W={v+W: v inV }$
tuttavia non riesco a scriverla in maniera analitica,qualcuno potrebbe farmi qualche esempio del tipo $RR^3->RR^3$?
inoltre se possibile potrei avere la definizione di applicazione lineare "inclusione"?
grazie mille!
Risposte
Allora...
Consiglio:
si è algebra lineare, ma in realtà è un esempio di qualcosa molto più generale della topologia...topologia quoziente...
Detto questo...
Prendi in $RR^3$ il piano $\pi={x+y+z}$.
Quindi $\pi=span{(1,-1,0),(0,1,-1)}$
scriviamo esplicitamente
$p: RR^3->RR^3/ \pi$
ad esempio
$p((1,3,5))={(1,3,5)+t(1,-1,0)+s(0,1,-1), s,t \in RR}$
Per il concetto di inclusione, dipende...io ti direi che
(l'ho sempre chiamata immersione, quindi per non far confuzione continuo a chiamarla così ma è la stessa cosa)
immersione (def)
$F: A->B $ è un'immersione se è iniettiva e rispetta le strutture di $A$ e $B$
Vorrebbe dire che $B$ ha un sottoinsieme "simile" ad $A$.
Nel caso degli spazi vettoriali ad esempio, prendi $RR^2$, questi si immerge in $RR^3$
$RR^2->RR^3$
$(a,b)->(a,b,0)$
Rispetta la struttura?
Bè ci limitiamo a dire che è lineare, quindi va bene...
Ad ogni modo segui il consiglio e dai una letta alla topologia quoziente...o al massimo metti esercizi su cui si possono fare esempi concreti
Consiglio:
si è algebra lineare, ma in realtà è un esempio di qualcosa molto più generale della topologia...topologia quoziente...
Detto questo...
Prendi in $RR^3$ il piano $\pi={x+y+z}$.
Quindi $\pi=span{(1,-1,0),(0,1,-1)}$
scriviamo esplicitamente
$p: RR^3->RR^3/ \pi$
ad esempio
$p((1,3,5))={(1,3,5)+t(1,-1,0)+s(0,1,-1), s,t \in RR}$
Per il concetto di inclusione, dipende...io ti direi che
(l'ho sempre chiamata immersione, quindi per non far confuzione continuo a chiamarla così ma è la stessa cosa)
immersione (def)
$F: A->B $ è un'immersione se è iniettiva e rispetta le strutture di $A$ e $B$
Vorrebbe dire che $B$ ha un sottoinsieme "simile" ad $A$.
Nel caso degli spazi vettoriali ad esempio, prendi $RR^2$, questi si immerge in $RR^3$
$RR^2->RR^3$
$(a,b)->(a,b,0)$
Rispetta la struttura?
Bè ci limitiamo a dire che è lineare, quindi va bene...
Ad ogni modo segui il consiglio e dai una letta alla topologia quoziente...o al massimo metti esercizi su cui si possono fare esempi concreti
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