Proiezione e applicazioni lineari
ciao a tutti c'è un ex del Sernesi:
sia $ H sub RR^3 $ il piano di equazione $x+y-z=0$ e sia $u=(0,1,1)$.Dopo aver verificato che $RR^3=H+$ (IN SOMMA DIRETTA),trovare l'espressione analitica della proiezione $ p:RR^3->H $ nella direzione $$
Allora,purtroppo dalla teoria non sono riuscito a capire come scriverlo in forma di applicazione lineare...però non riesco neanche a fare eventuali prove perche non capisco perche dovrebbe essere una somma diretta quella dei due sottospazi...
infatti mi risulterebbe che il vettore $$ sia contenuto nel piano,del quale una base è proprio $(1,0,1);(0,1,1)$!
c'è anche un risultato che sarebbe:
$p(x,y,z)=(x,(-x+y-z)/2,(-x-y+z)/2)$
ma nella teoria c'è scritto che per la proiezione di un punto il sottospazio generato dal vettore deve essere in somma diretta con $H$.Infatti la loro intersezione deve avere dimensione $<0>$ essendo un punto...
qualcuno potrebbe darmi una mano?
sia $ H sub RR^3 $ il piano di equazione $x+y-z=0$ e sia $u=(0,1,1)$.Dopo aver verificato che $RR^3=H+$ (IN SOMMA DIRETTA),trovare l'espressione analitica della proiezione $ p:RR^3->H $ nella direzione $$
Allora,purtroppo dalla teoria non sono riuscito a capire come scriverlo in forma di applicazione lineare...però non riesco neanche a fare eventuali prove perche non capisco perche dovrebbe essere una somma diretta quella dei due sottospazi...
infatti mi risulterebbe che il vettore $$ sia contenuto nel piano,del quale una base è proprio $(1,0,1);(0,1,1)$!
c'è anche un risultato che sarebbe:
$p(x,y,z)=(x,(-x+y-z)/2,(-x-y+z)/2)$
ma nella teoria c'è scritto che per la proiezione di un punto il sottospazio generato dal vettore deve essere in somma diretta con $H$.Infatti la loro intersezione deve avere dimensione $<0>$ essendo un punto...
qualcuno potrebbe darmi una mano?
Risposte
ho scritto male qualcosa...?
allora, premetto che non so scrivere il simbolo di somma diretta,quindi darò per scontato che se scriverò $ U+W $ ,sarà una somma diretta.
la proposizione è questa:
Sia $V$ un K-spazio vettoriale e siano $U$ e $V$ due spazi supplementari in $V$,cioè tali che siano in somma diretta
l'applicazione $ p:V->W $ definita come $ p(u+w)=w $ è la proiezione di $V$ su $W$
se in particolare $W$ è un iperpiano allora $U=$ e l'applicazione lineare verrà chiamata proiezione di $V$ su $W$ lungo la direzione $$
Quindi se prendo un'applicazione del genere tipo $f(x,y,z)=(0,y,z)$ sto mandando da $RR^3$ al piano $yz$ tutti i punti..
studio gli spazi vettoriali ed essendo il piano $yz$ in questione un iperpiano rispetto a $RR^3$,allora $RR^3=V$ può essere rappresentato dalla decomposizione in somma diretta di $U+W$ dove
$ W={(x,y,z)in RR^3: x=0} $ e $ U={(x,y,z)in RR^3: z=y=0} $
quindi la "direzione" non è altro che un qualsiasi vettore $v in V$ \ $W$ ,mi viene da pensare che sia ridondante scriverlo,perciò per quanto riguarda l'esercizio del sernesi,io ho il piano vettoriale $H$:$x+y-z=0$ $in RR^3$ che è un iperpiano e $H$ è costituito da tutti i vettori della forma $(x,y,x+y)=H$ e l'applicazione $p:V->W$
dev'essere la seguente proiezione:
$f(x,y,z)=(x,y,x+y)$
a prescindere dal vettore del testo $(0,1,1)$ che dev'essere sbagliato,basta trovarne uno che sia linearmente in dipendente tipo $(1,0,0)$ che costituisca la direzione della proiezione
però tutto ciò che ho detto non coincide col risultato ne col testo dell'esercizio...
la proposizione è questa:
Sia $V$ un K-spazio vettoriale e siano $U$ e $V$ due spazi supplementari in $V$,cioè tali che siano in somma diretta
l'applicazione $ p:V->W $ definita come $ p(u+w)=w $ è la proiezione di $V$ su $W$
se in particolare $W$ è un iperpiano allora $U=$ e l'applicazione lineare verrà chiamata proiezione di $V$ su $W$ lungo la direzione $$
Quindi se prendo un'applicazione del genere tipo $f(x,y,z)=(0,y,z)$ sto mandando da $RR^3$ al piano $yz$ tutti i punti..
studio gli spazi vettoriali ed essendo il piano $yz$ in questione un iperpiano rispetto a $RR^3$,allora $RR^3=V$ può essere rappresentato dalla decomposizione in somma diretta di $U+W$ dove
$ W={(x,y,z)in RR^3: x=0} $ e $ U={(x,y,z)in RR^3: z=y=0} $
quindi la "direzione" non è altro che un qualsiasi vettore $v in V$ \ $W$ ,mi viene da pensare che sia ridondante scriverlo,perciò per quanto riguarda l'esercizio del sernesi,io ho il piano vettoriale $H$:$x+y-z=0$ $in RR^3$ che è un iperpiano e $H$ è costituito da tutti i vettori della forma $(x,y,x+y)=H$ e l'applicazione $p:V->W$
dev'essere la seguente proiezione:
$f(x,y,z)=(x,y,x+y)$
a prescindere dal vettore del testo $(0,1,1)$ che dev'essere sbagliato,basta trovarne uno che sia linearmente in dipendente tipo $(1,0,0)$ che costituisca la direzione della proiezione
però tutto ciò che ho detto non coincide col risultato ne col testo dell'esercizio...
quoto anch'io per questa domanda!
@cappellaiomatto: hai ragione nell'affermare che [tex]$u\in H$[/tex] per cui [tex]$\langle u\rangle$[/tex] non è un suo spazio complementare in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex].
"j18eos":
@cappellaiomatto: hai ragione nell'affermare che [tex]$u\in H$[/tex] per cui [tex]$\langle u\rangle$[/tex] non è un suo spazio complementare in [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex].
tale affermazione andrebbe a pregiudicare l'intero esercizio? nel senso che so ho la direzione la forma analitica della proiezione cambia in base ad essa?
...be però se cambiasse la direzione cambierebbe anche il piano nello spazio,quindi si potrebbe trovare comunque la proiezione,ma non sono convinto
Significa che l'esercizio non ha senso! 
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