Proiezione di $v(x)=e^x$
Mi sono imbattuto in questo esercizio, di cui non capisco la seconda parte.
Sia $V=C^0("[0,1]") $ lo spazio vettoriale delle funzioni continue su $[0,1]$.
Sia $W=span{1,x,x^2}$ il sottospazio $W$ dei polinomi di grado minore o uguale a $2$, posto in $W$ il prodotto scalare:
$v(x)*w(x)=int_0^1v(x)*w(x)dx$
1) determinare una base ortonormale per $W$
2) Dato l'elemento $v(x)=e^x$ , $v(x) in V$, trovare la sua proiezione $v_w(x)$ sullo spazio. Spiegare in che senso $v_w$ è il polinomio che meglio approssima $v(x)$ in $W$.
Il primo punto l'ho fatto applicando il procedimento di Gram-Schmidt.
ho ottenuto gli stessi risultati della soluzione:
$v_1=1$
$v_2=sqrt(3)*(2x-1)$
$v_3=sqrt(5)*(6x^2-6x+1)$
e
$v_w(x)=(210e-570)x^2+(588-216e)x+39e-105$
L'unica parte che non capisco è l'ultima domanda. "Spiegare in che senso $v_w$ meglio approssima $e^x$". Il libro scrive
"I concetti di distanza e di ortogonalità dipendono dalla scelta dell'operazione che costituisce il prodotto scalare: con un diverso prodotto scalare i risultati sarebbero stati diversi". E quindi cosa rappresenta il polinomio ottenuto?
Effettivamente con la calcolatrice $v_w(0)$ e $v_w(1)$ valgono rispettivamente circa $1$ e $2.7$
Non è il libro che uso di solito ma mi aveva incuriosito questo esercizio sul prodotto scalare di spazi vettoriali generici.
Sia $V=C^0("[0,1]") $ lo spazio vettoriale delle funzioni continue su $[0,1]$.
Sia $W=span{1,x,x^2}$ il sottospazio $W$ dei polinomi di grado minore o uguale a $2$, posto in $W$ il prodotto scalare:
$v(x)*w(x)=int_0^1v(x)*w(x)dx$
1) determinare una base ortonormale per $W$
2) Dato l'elemento $v(x)=e^x$ , $v(x) in V$, trovare la sua proiezione $v_w(x)$ sullo spazio. Spiegare in che senso $v_w$ è il polinomio che meglio approssima $v(x)$ in $W$.
Il primo punto l'ho fatto applicando il procedimento di Gram-Schmidt.
ho ottenuto gli stessi risultati della soluzione:
$v_1=1$
$v_2=sqrt(3)*(2x-1)$
$v_3=sqrt(5)*(6x^2-6x+1)$
e
$v_w(x)=(210e-570)x^2+(588-216e)x+39e-105$
L'unica parte che non capisco è l'ultima domanda. "Spiegare in che senso $v_w$ meglio approssima $e^x$". Il libro scrive
"I concetti di distanza e di ortogonalità dipendono dalla scelta dell'operazione che costituisce il prodotto scalare: con un diverso prodotto scalare i risultati sarebbero stati diversi". E quindi cosa rappresenta il polinomio ottenuto?
Effettivamente con la calcolatrice $v_w(0)$ e $v_w(1)$ valgono rispettivamente circa $1$ e $2.7$
Non è il libro che uso di solito ma mi aveva incuriosito questo esercizio sul prodotto scalare di spazi vettoriali generici.
Risposte
Come hai calcolato \(v_w\)? Hai usato la base ortogonale immagino, oppure no? La spiegazione sta nel particolare modo in cui hai calcolato la proiezione e nella definizione di proiezione. Che definizione usi di proiezione?
La proiezione l'ho fatta così:
$v_w(x)=e^(x)*v_1*v_1+e^(x)*v_2*v_2+e^(x)*v_3*v_3$
(non so come fare il pallino grosso per denotare il prodotto scalare però $e^(x)*v_1$ vuol dire $int_0^1(e^x*1)dx$ che è il prodotto scalare così come l'ha definito l'esercizio.
quindi l'espressione deriva da questa:
$v_w(x)=1*int_0^1[e^x*1]dx+sqrt(3)*(2x-1)*int_0^1[e^(x)*sqrt(3)*(2x-1)]dx+sqrt(5)*(6x^2-6x+1)*int_0^1[e^(x)*sqrt(5)*(6x^2-6x+1)]dx$
I conti sono tanti. Alla fine si arriva a quel polinomio.
La definizione corretta sarebbe che, data una base ortonormale di $W$, sottospazio di $V$, $B(W)={a_1, a_2, ..., a_n}$
La proiezione dell'elemento $v$ di $V$ su $W$ è $v_w=\sum_{i=1}^n*a_i$
Questa è l'unica definizione che mi è stata data al momento.
$v_w(x)=e^(x)*v_1*v_1+e^(x)*v_2*v_2+e^(x)*v_3*v_3$
(non so come fare il pallino grosso per denotare il prodotto scalare però $e^(x)*v_1$ vuol dire $int_0^1(e^x*1)dx$ che è il prodotto scalare così come l'ha definito l'esercizio.
quindi l'espressione deriva da questa:
$v_w(x)=1*int_0^1[e^x*1]dx+sqrt(3)*(2x-1)*int_0^1[e^(x)*sqrt(3)*(2x-1)]dx+sqrt(5)*(6x^2-6x+1)*int_0^1[e^(x)*sqrt(5)*(6x^2-6x+1)]dx$
I conti sono tanti. Alla fine si arriva a quel polinomio.
La definizione corretta sarebbe che, data una base ortonormale di $W$, sottospazio di $V$, $B(W)={a_1, a_2, ..., a_n}$
La proiezione dell'elemento $v$ di $V$ su $W$ è $v_w=\sum_{i=1}^n
"vict85":
Che definizione usi
Questa è l'unica definizione che mi è stata data al momento.
Hai trovato i polinomi di Legendre (la base ortogonale) e ora penso proprio che l'esercizio chieda di trovare la quadratura di Gauss https://it.wikipedia.org/wiki/Quadratura_di_Gauss
@vict85 avrei un'osservazione/domanda
[ot]Al di là che sia la domanda in un testo di algebra lineare, secondo me la definizione di proiezione può essere solo quella dell'OP, in quanto la definizione classica di proiezione su un sottospazio in uno spazio di Hilbert prevede appunto che $(X, \langle \cdot \rangle)$ sia di Hilbert, ma $C^0[0,1]$ con la norma indotta dal prodotto scalare di $L^2$, cioè $\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f g(x)dx$ non è completo, quindi la caratterizzazione della proiezione (ossia $ \langle x- \Pi_{x} , y \rangle$ per intenderci) non funziona, perché nella dimostrazione si costruivano successioni di Cauchy convergenti[/ot]
[ot]Al di là che sia la domanda in un testo di algebra lineare, secondo me la definizione di proiezione può essere solo quella dell'OP, in quanto la definizione classica di proiezione su un sottospazio in uno spazio di Hilbert prevede appunto che $(X, \langle \cdot \rangle)$ sia di Hilbert, ma $C^0[0,1]$ con la norma indotta dal prodotto scalare di $L^2$, cioè $\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f g(x)dx$ non è completo, quindi la caratterizzazione della proiezione (ossia $ \langle x- \Pi_{x} , y \rangle$ per intenderci) non funziona, perché nella dimostrazione si costruivano successioni di Cauchy convergenti[/ot]
Queste cose non le ho ancora studiate purtroppo.
@SirDanielFortesque
chiaro, la mia era una curiosità nata dalla domanda di vict85 ! Quello che sostanzialmente dice il libro come risposta alla seconda domanda è: se su uno spazio vettoriale ci cambio prodotto scalare, allora chiaramente la nozione di ortogonalità va rivista, alla luce del fatto che cambi operativamente le operazioni che fai. Quindi, dire che $f,g$ sono ortogonali rispetto ad un prodotto scalare non implica che questi siano ortogonali rispetto ad un diverso prodotto scalare sullo stesso spazio.
Questo è, in soldoni, quello che intende.
chiaro, la mia era una curiosità nata dalla domanda di vict85 ! Quello che sostanzialmente dice il libro come risposta alla seconda domanda è: se su uno spazio vettoriale ci cambio prodotto scalare, allora chiaramente la nozione di ortogonalità va rivista, alla luce del fatto che cambi operativamente le operazioni che fai. Quindi, dire che $f,g$ sono ortogonali rispetto ad un prodotto scalare non implica che questi siano ortogonali rispetto ad un diverso prodotto scalare sullo stesso spazio.
Questo è, in soldoni, quello che intende.
Grazie delle risposte a tutti. Penso di aver capito. Il fatto è che negli altri esercizi, di solito, c'è il prodotto scalare in $RR^n$.
Esatto, e non hai spazi di funzioni come $C^0[0,1]$, ma solamente $RR^n$, come hai già scritto. Per questo infatti secondo me è un esercizio molto istruttivo, anche se standard 
Ho provato solo a rispondere a questo dubbio.
"SirDanielFortesque":
"Spiegare in che senso $v_w$ meglio approssima $e^x$".
"Bokonon":
Ho provato solo a rispondere a questo dubbio.SirDanielFortesque ha scritto:"Spiegare in che senso v w v_w meglio approssima e x e^x".
Si quello in effetti mi è ancora oscuro. Però magari alla luce di nuovi strumenti che apprenderò in futuro mi diventerà più chiaro perché effettivamente costruendo un polinomio così approssima $e^(x)$.
Guardando questo e i due video successivi puoi farti un'idea!
https://youtu.be/65zwMgGZnUs?list=PLlXf ... cTjGr633mm
https://youtu.be/65zwMgGZnUs?list=PLlXf ... cTjGr633mm
Grazie mille.
Un canale da tenere a mente.
[ot]Le riprese in "piano americano" dalle ginocchia in su, modalità film western, inizialmente mi hanno spiazzato.
[/ot]
Un canale da tenere a mente.
[ot]Le riprese in "piano americano" dalle ginocchia in su, modalità film western, inizialmente mi hanno spiazzato.
[/ot]
@feddy: È un po' che non vedo queste cose ma penso che, siccome \(W\) è un sottospazio finito dimensionale di \(\displaystyle C^0\bigl([0,1]\bigr) \), non sia necessaria la completezza della metrica su tutto lo spazio. Provo a dimostrarlo.
Proposizione. Consideriamo uno spazio \(V\) dotato di un prodotto scalare \(\displaystyle \langle \bullet,\bullet\rangle \). Allora per ogni \(\displaystyle v\in V \), \(V = \mathbb{R}v \oplus v^{\perp}\).
Dimostrazione. Per ogni \(\displaystyle w\in V \), basta applicare un passo di Gram–Schmidt alla coppia \(\{v, w\}\) per trovare \(w'\in v^{\perp}\) tale che \(\displaystyle w\in \mathcal{L}(v, w') \). La somma è diretta perché il prodotto scalare non è degenere. \(\displaystyle \Box \)
Il caso finito dimensionale deriva per induzione dal caso di dimensione \(1\). Insomma, a meno di un mio errore, si ha che \(\displaystyle C^0\bigl([0,1]\bigr) = W\oplus W^{\perp} \). Detto questo, se non ricordo male ogni norma su uno spazio scalare finito dimensionale è completa e \(W\) è un sottospazio chiuso di \(V\). Quindi ogni successione di Cauchy in \(W\) converge in \(W\). Sbaglio qualcosa? È un po' di tempo che non vedo queste cose.
[edit] corretti i typo. Grazie feddy della segnalazione
.
Proposizione. Consideriamo uno spazio \(V\) dotato di un prodotto scalare \(\displaystyle \langle \bullet,\bullet\rangle \). Allora per ogni \(\displaystyle v\in V \), \(V = \mathbb{R}v \oplus v^{\perp}\).
Dimostrazione. Per ogni \(\displaystyle w\in V \), basta applicare un passo di Gram–Schmidt alla coppia \(\{v, w\}\) per trovare \(w'\in v^{\perp}\) tale che \(\displaystyle w\in \mathcal{L}(v, w') \). La somma è diretta perché il prodotto scalare non è degenere. \(\displaystyle \Box \)
Il caso finito dimensionale deriva per induzione dal caso di dimensione \(1\). Insomma, a meno di un mio errore, si ha che \(\displaystyle C^0\bigl([0,1]\bigr) = W\oplus W^{\perp} \). Detto questo, se non ricordo male ogni norma su uno spazio scalare finito dimensionale è completa e \(W\) è un sottospazio chiuso di \(V\). Quindi ogni successione di Cauchy in \(W\) converge in \(W\). Sbaglio qualcosa? È un po' di tempo che non vedo queste cose.
[edit] corretti i typo. Grazie feddy della segnalazione
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Credo che nella proposizione volessi scrivere "prodotto scalare".
Ad ogni modo, mi pare torni! Grazie
Ad ogni modo, mi pare torni! Grazie
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