Proiezione di vettore su retta di altro vettore
Cari amici,
posto qua perché ho notato che certe problematiche relative allo studio dei vettori vengono affrontate qui...
Il Bertsch (cito anche la pagina, che è la 91, per chi avesse questo stupendo manuale), dimostra in modo molto chiaro come, data una base ortonormale ${\vec u_1, \vec u_2, \vec u_3}$, i cui elementi indico in seguito come $\vec u_i$, si ha, per ogni vettore, che chiamiamo $\vec u$, dello spazio vettoriale di tale base, valendo la combinazione lineare $\vec u = λ_1\vec u_1 + λ_2\vec u_2 + λ_3\vec u_3$ (dove $λ_i$, cioè $λ_1,...,λ_3$, rappresenta numeri diversi da caso a caso), che $λ_i = (‹\vec u, \vec u_i›)/(‹\vec u_i, \vec u_i›)$. Fin qua tutto pacifico.
Dice poi che "geometricamente, [la formula appena descritta] significa che $‹\vec u, \vec u_i›\vec u_i$ è la componente del vettore $\vec u$ nella direzione di $\vec u_1$, ovvero $‹\vec u, \vec u_i›\vec u_i$ è la proiezione ortogonale di $\vec u$ sulla retta sulla quale giace il vettore $\vec u_1$. [...] la proiezione ortogonale ha lunghezza $||\vec u||·|cosφ_i|$ [$φ_i$ è l'angolo tra i due vettori]" e va avanti dimostrando che:
$|‹\vec u, \vec u_i›|·||\vec u_i|| = ||\vec u||·||\vec u_i||^2·|cosφ_i| = ||\vec u||·|cosφ_i|$, ricodandoci che, essendo la base ortonormale, $||\vec u_i||=1$.
Credo che $‹\vec u, \vec u_i›\vec u_i$ sia proprio una notazione abbreviata di $|‹\vec u, \vec u_i›|·||\vec u_i||$, ma di identico significato: vero?
Quello che non capisco è il perché dice che "geometricamente, [la formula descritta] significa che $‹\vec u, \vec u_i›\vec u_i$ è [...] la proiezione ortogonale di $\vec u$ sulla retta sulla quale giace il vettore $\vec u_1$... Naturalmente, l'equivalenza con $||\vec u||·|cosφ_i|$ è palese per il fatto che $||\vec u_i||=1$, ma, dato che direi che
$‹\vec u, \vec v› = ||\vec u||·||\vec v|| cosφ_i$
sarei più portato a descrivere la misura della proiezione del nostro vettore $\vec u$ come
$(|‹\vec u, \vec u_i›|)/(||\vec u_i||)$ (mi sbaglio?)
Mentre userei una notazione del tipo di $||\vec u||·||\vec u_i||^2·|cosφ_i|$ per indicare, per rimanere ad una definizione geometrica, per esempio il volume del parallelepido che ha per spigoli due vettori della base e la proiezione in questione...
Questo mi fa pensare che ci sia qualche ragione a me oscura per cui l'autore usa proprio la notazione $‹\vec u, \vec u_i›\vec u_i$...
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie di cuore!!!
Davide
P.S.: Perdonate l'ignoranza, ma vengo dal liceo classico e studio matematica da autodidatta e per piacere...
posto qua perché ho notato che certe problematiche relative allo studio dei vettori vengono affrontate qui...
Il Bertsch (cito anche la pagina, che è la 91, per chi avesse questo stupendo manuale), dimostra in modo molto chiaro come, data una base ortonormale ${\vec u_1, \vec u_2, \vec u_3}$, i cui elementi indico in seguito come $\vec u_i$, si ha, per ogni vettore, che chiamiamo $\vec u$, dello spazio vettoriale di tale base, valendo la combinazione lineare $\vec u = λ_1\vec u_1 + λ_2\vec u_2 + λ_3\vec u_3$ (dove $λ_i$, cioè $λ_1,...,λ_3$, rappresenta numeri diversi da caso a caso), che $λ_i = (‹\vec u, \vec u_i›)/(‹\vec u_i, \vec u_i›)$. Fin qua tutto pacifico.
Dice poi che "geometricamente, [la formula appena descritta] significa che $‹\vec u, \vec u_i›\vec u_i$ è la componente del vettore $\vec u$ nella direzione di $\vec u_1$, ovvero $‹\vec u, \vec u_i›\vec u_i$ è la proiezione ortogonale di $\vec u$ sulla retta sulla quale giace il vettore $\vec u_1$. [...] la proiezione ortogonale ha lunghezza $||\vec u||·|cosφ_i|$ [$φ_i$ è l'angolo tra i due vettori]" e va avanti dimostrando che:
$|‹\vec u, \vec u_i›|·||\vec u_i|| = ||\vec u||·||\vec u_i||^2·|cosφ_i| = ||\vec u||·|cosφ_i|$, ricodandoci che, essendo la base ortonormale, $||\vec u_i||=1$.
Credo che $‹\vec u, \vec u_i›\vec u_i$ sia proprio una notazione abbreviata di $|‹\vec u, \vec u_i›|·||\vec u_i||$, ma di identico significato: vero?
Quello che non capisco è il perché dice che "geometricamente, [la formula descritta] significa che $‹\vec u, \vec u_i›\vec u_i$ è [...] la proiezione ortogonale di $\vec u$ sulla retta sulla quale giace il vettore $\vec u_1$... Naturalmente, l'equivalenza con $||\vec u||·|cosφ_i|$ è palese per il fatto che $||\vec u_i||=1$, ma, dato che direi che
$‹\vec u, \vec v› = ||\vec u||·||\vec v|| cosφ_i$
sarei più portato a descrivere la misura della proiezione del nostro vettore $\vec u$ come
$(|‹\vec u, \vec u_i›|)/(||\vec u_i||)$ (mi sbaglio?)
Mentre userei una notazione del tipo di $||\vec u||·||\vec u_i||^2·|cosφ_i|$ per indicare, per rimanere ad una definizione geometrica, per esempio il volume del parallelepido che ha per spigoli due vettori della base e la proiezione in questione...
Questo mi fa pensare che ci sia qualche ragione a me oscura per cui l'autore usa proprio la notazione $‹\vec u, \vec u_i›\vec u_i$...
Qualcuno potrebbe aiutarmi?
Grazie di cuore!!!
Davide
P.S.: Perdonate l'ignoranza, ma vengo dal liceo classico e studio matematica da autodidatta e per piacere...
Risposte
Ciao amici!
Forse ho trovato una risposta... Posto rispondendo a me stesso in modo da fornire una risposta anche a chi, come me, non aveva chiara la faccenda...
Mi sta venendo da pensare che il Bertsch usi la notazione $‹\vec u,\vec u_i›u_i$ per indicare non tanto direttamente il prodotto scalare di $\vec u$ per $\vec u_i$ moltiplicato poi per $||\vec u_i||$, come supponevo all'inizio (anche se rimangono ovviamente valide le conclusioni, essendo una norma necessariamente positiva), quanto per indicare il prodotto di $\vec u_i$ (non la sua norma, ma il vettore considerato nelle sue componenti, moltiplicato per uno scalare di valore uguale a $‹\vec u,\vec u_i›$. Eureka?
In tal modo avremmo davanti a noi le componenti proprio del vettore che è la proiezione di $\vec u$ sulla retta su cui è $\vec u_i$, direi!
Che ve ne sembra?
Ciao a tutti!!!
Forse ho trovato una risposta... Posto rispondendo a me stesso in modo da fornire una risposta anche a chi, come me, non aveva chiara la faccenda...
Mi sta venendo da pensare che il Bertsch usi la notazione $‹\vec u,\vec u_i›u_i$ per indicare non tanto direttamente il prodotto scalare di $\vec u$ per $\vec u_i$ moltiplicato poi per $||\vec u_i||$, come supponevo all'inizio (anche se rimangono ovviamente valide le conclusioni, essendo una norma necessariamente positiva), quanto per indicare il prodotto di $\vec u_i$ (non la sua norma, ma il vettore considerato nelle sue componenti, moltiplicato per uno scalare di valore uguale a $‹\vec u,\vec u_i›$. Eureka?
In tal modo avremmo davanti a noi le componenti proprio del vettore che è la proiezione di $\vec u$ sulla retta su cui è $\vec u_i$, direi!
Che ve ne sembra?
Ciao a tutti!!!
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