Proiezione di una circonferenza
ciao a tutti, non so assolutamente fare questo esercizio.
in $RR^3$ sia dato il punto $P=(0,0,\alpha)$ con $\alpha>1$ determinare la proiezione, rispetto al punto P, sul piano $z=0$ della circonferenza contenuta nel piano $z=1$ di raggio 1 e centro $(0,0,1)$.
non so proprio farlo analiticamente, tramite formule.
mi potete dare un aiuto?
in $RR^3$ sia dato il punto $P=(0,0,\alpha)$ con $\alpha>1$ determinare la proiezione, rispetto al punto P, sul piano $z=0$ della circonferenza contenuta nel piano $z=1$ di raggio 1 e centro $(0,0,1)$.
non so proprio farlo analiticamente, tramite formule.
mi potete dare un aiuto?
Risposte
Il centro $(0,0,1) $ si proietta in$(0,0,0)$.
Il raggio $r $ della circonferenza proiettata sul piano $xy (z=0 )$ è dato dalla seguente proporzione ottenuta tramite la similitudine di due triangoli rettangoli di
I) cateti $alpha$ (lungo l'asse $z$ ) ed $r$ ( sul piano $z=0$)
II) cateti $alpha-1 $ (lungo l'asse $z$ ) ed $1$ nel piano $z=0$
$r:1=alpha:(alpha-1) $ da cui $ r= alpha/(alpha-1) $
L'equazione della circonferenza proiettata è quindi
$x^2+y^2 = (alpha/(alpha-1))^2 $
$z=0 $
S.E.O.
Il raggio $r $ della circonferenza proiettata sul piano $xy (z=0 )$ è dato dalla seguente proporzione ottenuta tramite la similitudine di due triangoli rettangoli di
I) cateti $alpha$ (lungo l'asse $z$ ) ed $r$ ( sul piano $z=0$)
II) cateti $alpha-1 $ (lungo l'asse $z$ ) ed $1$ nel piano $z=0$
$r:1=alpha:(alpha-1) $ da cui $ r= alpha/(alpha-1) $
L'equazione della circonferenza proiettata è quindi
$x^2+y^2 = (alpha/(alpha-1))^2 $
$z=0 $
S.E.O.
mi potresti spiegare quella similitudine dei triangoli? e poi perchè proprio quei particolari triangoli?
ggrazie mille
ggrazie mille
Chiamo A un punto della crf. sul piano $ z=1 $ .Proietto da P il punto A ed ottengo il punto B sul piano $z=0 $.
Chiamo poi C il punto di coordinate $(0,0,1)$ cioè il centro della crf. sul piano $ z=1 $.
I triangoli rettangoli sono
PAC , PBO.
La proprozione è OB : AC = OP : PC.
Con un disegno sarebbe tutto più chiaro ma non so come farlo...
Chiamo poi C il punto di coordinate $(0,0,1)$ cioè il centro della crf. sul piano $ z=1 $.
I triangoli rettangoli sono
PAC , PBO.
La proprozione è OB : AC = OP : PC.
Con un disegno sarebbe tutto più chiaro ma non so come farlo...
stesso risultato procedimento diverso 
cerco di scrivere la proiezione da P al piano z=0, dato un punto $A=(a_1,a_2,a_3)$ la sua proiezione è l'intersezione della retta AP col piano z=0
scrivo quindi in forma parametrica la retta AP, un vettore direttore è $v=A-P=(a_1,a_2,a_3-alpha)$ quindi un generico punto $x in AP$ si scrive $x=P+lambdav=(lambda a_1,lambda a_2,alpha+lambda (a_3-alpha))=(lambda a_1,lambda a_2,lambda a_3+alpha(1-lambda))$
io voglio z=0 quindi $lambda a_3+alpha(1-lambda)=0 \Rightarrow lambda=alpha/(alpha-a_3)$
quindi la proiezione è:$A=(a_1,a_2,a_3)->A'=(a_1+(a_1a_3)/alpha,a_2+(a_2a_3)/alpha,0)$
ora vogliamo proiettare in particolare la circonferenza $x^2+y^2=1$ sul piano z=1 quindi i nostri punti soddisfano $a_3=1,a_1^2+a_2^2=1$
quindi sono i punti del tipo $(a_1alpha/(alpha-1),a_2alpha/(alpha-1),0)$ ovvero i punti del piano z=0 che soddisfano $x^2+y^2=(alpha/(alpha-1))^2$
(ci sarebbe da fare qualche verifica, tutti i nostri punti verificano sicuramente quell'equazione, è vero il viceversa? direi di sì ma non ho fatto i conti).
cerco di scrivere la proiezione da P al piano z=0, dato un punto $A=(a_1,a_2,a_3)$ la sua proiezione è l'intersezione della retta AP col piano z=0
scrivo quindi in forma parametrica la retta AP, un vettore direttore è $v=A-P=(a_1,a_2,a_3-alpha)$ quindi un generico punto $x in AP$ si scrive $x=P+lambdav=(lambda a_1,lambda a_2,alpha+lambda (a_3-alpha))=(lambda a_1,lambda a_2,lambda a_3+alpha(1-lambda))$
io voglio z=0 quindi $lambda a_3+alpha(1-lambda)=0 \Rightarrow lambda=alpha/(alpha-a_3)$
quindi la proiezione è:$A=(a_1,a_2,a_3)->A'=(a_1+(a_1a_3)/alpha,a_2+(a_2a_3)/alpha,0)$
ora vogliamo proiettare in particolare la circonferenza $x^2+y^2=1$ sul piano z=1 quindi i nostri punti soddisfano $a_3=1,a_1^2+a_2^2=1$
quindi sono i punti del tipo $(a_1alpha/(alpha-1),a_2alpha/(alpha-1),0)$ ovvero i punti del piano z=0 che soddisfano $x^2+y^2=(alpha/(alpha-1))^2$
(ci sarebbe da fare qualche verifica, tutti i nostri punti verificano sicuramente quell'equazione, è vero il viceversa? direi di sì ma non ho fatto i conti).
grazie a entrambi ma ancora non mi è chiaro come mai debba valere quella relazione di similitudine tra i triangoli.
I triangoli PAC, PBO sono simili in quanto hanno i tre angoli uguali .
Infatti gli angoli PCA , POB sono uguali perchè retti .
L'angolo in P è comune ai due triangoli e quindi uguale
di conseguenza anche gli angoli PAC e PBO sono uguali.
Infatti gli angoli PCA , POB sono uguali perchè retti .
L'angolo in P è comune ai due triangoli e quindi uguale
di conseguenza anche gli angoli PAC e PBO sono uguali.
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