Proiezione di un punto su un piano

[Shika93]

Ho un problema su un pezzo di esercizio. Mi chiede di calcolare le coordinate di un punto $H$ ortogonale al punto $P=(1,-1,-1)$ passante per il piano $\pi: x-2y+z=0$

Probabilmente sbaglio io l'approccio. Io trovo l'equazione parametrica della retta $r$ che collega il punto al piano

$r=P+\pit$ che che viene $r=(1+t,-1-2t,1-t)$

a quel punto sostituisco i valori dentro l'equazione del piano. $1+t-2(-1-2t)+1-t=0$ da cui $t=-1$

Quindi sostituisco $t$ in $r$ e dovrei aver trovato le coordinate. Il problema è che il risultato non torna con la soluzione.
Sbaglio io qualcosa?

[Quinzio]

"Shika93":Ho un problema su un pezzo di esercizio. Mi chiede di calcolare le coordinate di un punto $H$ ortogonale al punto $P=(1,-1,-1)$ passante per il piano $\pi: x-2y+z=0$

Probabilmente sbaglio io l'approccio. Io trovo l'equazione parametrica della retta $r$ che collega il punto al piano

$r=P+\pit$ che che viene $r=(1+t,-1-2t,1-t)$

Questo va corretto così:
$r=(1+t,-1-2t,t-1)$

a quel punto sostituisco i valori dentro l'equazione del piano. $1+t-2(-1-2t)+1-t=0$ da cui $t=-1$

Quindi sostituisco $t$ in $r$ e dovrei aver trovato le coordinate. Il problema è che il risultato non torna con la soluzione.
Sbaglio io qualcosa?

[Shika93]

Ah si, hai ragione. Per il resto è giusto?

[Shika93]

Ok a posto, mi torna $H=(2/3,-1/3,-4/3)$

A questo punto devo calcolare le equazioni cartesiane di $r$ passante per $o$ e $H$
Io ho scritto il versore del piano $\hatn_\pi=\hati-2\hatj+\hatk$
poi ho definito

$r=(H-o)+\hatn_\pi=((x),(y),(z))=((2/3),(-1/3),(-4/3))+((1),(-2),(1))t$

Quindi
$\{(x=2/3+t),(y=-1/3-2t),(z=t-4/3):}=>\{(t=x-2/3),(y=-1/3-2(x-2/3)),(z=x-2/3-4/3):}=>\{(t=x-2/3),(y=-2x+1),(z=x-2):}$

E' giusto? Perchè le equazioni di r come soluzione avrei

$\{(x+2y=0),(2x+z=0):}$