Proiettività e prospettività

[alex9931]

ciao, ho bisogno di una mano per risolvere il seguente esercizio di geometria proiettiva

-data una generica prospettività tra due rette nel piano proiettivo, dimostrare che è una proiettività. Inoltre dimostrare che una proiettività, che fissa il punto di intersezione tra le rette, è una prospettività.

Non so proprio come procedere, grazie in anticipo.

[emailgiochi1234]

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Ho bisogno anch'io

[killing_buddha]

Devi dimostrare che una prospettività è invertibile; una prospettività del resto è una applicazione tra rette proiettive \(f :r\to s\) tale che esista un punto \(P\) per cui \(f(X)=(X\lor P)\cap s\):

[tex]\xymatrix@M=0mm{
&&\bullet \ar@{-}[ddr]^(1){fX}\ar@{-}[dll]_(1){X}& \\
\bullet \ar@{-}[drrr]|\circ_P &&&\\
&&&\bullet
}[/tex]

Devi solo trovare l'inversa di questa mappa (puoi ragionare graficamente -è veramente molto facile trovare l'inversa graficamente-, oppure metterti in un riferimento proiettivo comodo e trovare che matrice ha la soprastante a una prospettività).

Per mostrare che \(f\) è una prospettività se e solo se fissa \(R=r\cap s\), un verso è ovvio: se \(f\) è una prospettività, \((R\lor P)\cap s=R\) perché $R$ stava su $s$. Viceversa, basta prendere due punti diversi da \(R\) e intersecare la retta \(X\lor fX\) e la retta \(Y\lor fY\); l'intersezione \(P\) di queste due rette è il punto di proiezione.