Proiettività.
E' da un po' che penso a questo esercizio ma non riesco a capire come svolgerlo.
Bene o male ho capito cosa vuol dire richiedere una proiettività che abbia punti fissi, sottogruppi localmente o globalmente fissi. Almeno in teoria. E' poi nella pratica che non riesco a svolgere l'esercizio. Probabilmente è più semplice di quello che sembra.
Esercizio: Determina le equazioni di una proiettività non identica $\phi : P^2 -> P^2$ tale che il punto
$P = [1,0,1]$ sia fisso e la retta $r : X_1 + X_2 = 0$ sia fissa punto a punto.
Allora la mia idea sarebbe cercare una proiettività che mandi il punto in un suo multiplo per un certo valore $\lambda$ (gestendolo come fosse un autovettore di autovalore $\lambda$) e i punti che fissano la retta (fissati due punti fisso l'intera retta) che sono $Q = [1,0,0]$ e $R = [0,-1,1]$ gestendoli come autovettori per uno stesso autovalore $\mu$.
Ora come porto avanti l'idea in termini "pratici"?
Bene o male ho capito cosa vuol dire richiedere una proiettività che abbia punti fissi, sottogruppi localmente o globalmente fissi. Almeno in teoria. E' poi nella pratica che non riesco a svolgere l'esercizio. Probabilmente è più semplice di quello che sembra.
Esercizio: Determina le equazioni di una proiettività non identica $\phi : P^2 -> P^2$ tale che il punto
$P = [1,0,1]$ sia fisso e la retta $r : X_1 + X_2 = 0$ sia fissa punto a punto.
Allora la mia idea sarebbe cercare una proiettività che mandi il punto in un suo multiplo per un certo valore $\lambda$ (gestendolo come fosse un autovettore di autovalore $\lambda$) e i punti che fissano la retta (fissati due punti fisso l'intera retta) che sono $Q = [1,0,0]$ e $R = [0,-1,1]$ gestendoli come autovettori per uno stesso autovalore $\mu$.
Ora come porto avanti l'idea in termini "pratici"?
Risposte
Non prendere per oro colato le mie considerazioni ma la tua idea mi sembra buona. Naturalmente a seconda di come scegli gli autovalori ti viene una diversa proiettività ( infatti mi pare che la consegna parli di trovare "una proiettività" e non "la proiettività" ). Per esempio supponiamo che gli autovalori relativi agli autovettori
\(\displaystyle (1,0,1), (1,0,0),(0,-1,1) \) [che sono poi quelli scelti da te ]
siano rispettivamente :
\(\displaystyle \lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=-1 \) [per semplicità di calcolo li ho scelti tutti diversi]
allora è come se tu dovessi trovare l'applicazione lineare T ( da R^3 a R^3 ) tale che sia :
\(\displaystyle \begin{cases} T(1,0,1)=1\cdot (1,0,1) \\T(1,0,0)=2\cdot (1,0,0) \\T(0,-1,1)=-1\cdot (0,-1,1)\end{cases} \)
Un problema di tal genere è ben noto in in algebra lneare , risolto il quale si ottiene la matrice A corrispondente a T :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\0&-1&0\\0&2&1\end{pmatrix} \)
Allora, indicando con \(\displaystyle \rho \) un arbitrario fattore di proporzionalità non nullo, le equazioni della tua proiettività sono :
\begin{cases} \rho X'_o=2X_o-X_1-X_2\\ \rho X'_1=-X_1\\\rho X'_2=2X_1+X_2\end{cases}
E' facile verificare che essa proiettività rispetta le condizioni poste. Per esempio verifichiamo che la retta
\(\displaystyle X'_1+X'_2=0 \) viene trasformata in sé :
Sostituendo in essa le equazioni della proiettività si ha :
\(\displaystyle -X_1+2X_1+X_2=0\) ovvero \(\displaystyle X_1+X_2=0 \)
e poiché anche due suoi punti vengono trasformati in sé dalla proiettività, la retta in questione è unita punto per punto.
\(\displaystyle (1,0,1), (1,0,0),(0,-1,1) \) [che sono poi quelli scelti da te ]
siano rispettivamente :
\(\displaystyle \lambda_1=1,\lambda_2=2,\lambda_3=-1 \) [per semplicità di calcolo li ho scelti tutti diversi]
allora è come se tu dovessi trovare l'applicazione lineare T ( da R^3 a R^3 ) tale che sia :
\(\displaystyle \begin{cases} T(1,0,1)=1\cdot (1,0,1) \\T(1,0,0)=2\cdot (1,0,0) \\T(0,-1,1)=-1\cdot (0,-1,1)\end{cases} \)
Un problema di tal genere è ben noto in in algebra lneare , risolto il quale si ottiene la matrice A corrispondente a T :
\(\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-1&-1\\0&-1&0\\0&2&1\end{pmatrix} \)
Allora, indicando con \(\displaystyle \rho \) un arbitrario fattore di proporzionalità non nullo, le equazioni della tua proiettività sono :
\begin{cases} \rho X'_o=2X_o-X_1-X_2\\ \rho X'_1=-X_1\\\rho X'_2=2X_1+X_2\end{cases}
E' facile verificare che essa proiettività rispetta le condizioni poste. Per esempio verifichiamo che la retta
\(\displaystyle X'_1+X'_2=0 \) viene trasformata in sé :
Sostituendo in essa le equazioni della proiettività si ha :
\(\displaystyle -X_1+2X_1+X_2=0\) ovvero \(\displaystyle X_1+X_2=0 \)
e poiché anche due suoi punti vengono trasformati in sé dalla proiettività, la retta in questione è unita punto per punto.
Ok, perfetto. Ovviamente tu hai fatto tutto in base canonica. Io pensavo di svolgerlo tramite proprio le proiettività fissando dei punti in posizione generale. Ma probabilmente era più semplice cercare solamente la matrice dell'applicazione lineare associata che con la base canonica va benissimo!
Grazie
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