Proiettività
Salve è un esercizio molto simile a quello di ieri con l'affintà.
Allora ho 4 punti in $P^2(V)$ devo trovare una proettività $psi:P^2(V)->P^2(V)$ che manda $P_i$ in $P'_i$ con $i=1,..,4$
dove :
$P_1[1,0,1]$ in $P'_1[1,0,0]$
$P_2[1,1,1]$ in $P'_2[0,1,0]$
$P_3[0,1,1]$ in $P'_3[0,0,1]$
$P_4[0,0,1]$ in $P'_4[1,1,1]$
Potrei definire un sistema di 12 equazioni a 6 incognite... ma credo che ci sia un modo più furbo... che dite?
Grazie
Allora ho 4 punti in $P^2(V)$ devo trovare una proettività $psi:P^2(V)->P^2(V)$ che manda $P_i$ in $P'_i$ con $i=1,..,4$
dove :
$P_1[1,0,1]$ in $P'_1[1,0,0]$
$P_2[1,1,1]$ in $P'_2[0,1,0]$
$P_3[0,1,1]$ in $P'_3[0,0,1]$
$P_4[0,0,1]$ in $P'_4[1,1,1]$
Potrei definire un sistema di 12 equazioni a 6 incognite... ma credo che ci sia un modo più furbo... che dite?
Grazie
Risposte
sei sicuro che $P'_4$ non sia $[1:-1:1]$ al posto di come hai scirtto te? perchè se è giusto come hai scritto te avremmo che se f è la proiettività cercata (essa per come è definita (cioè la proiettivizazione dell'applicazione lineare in V che in questo caso sarebbe isomorfo a $RR^3$) è un'applicazione lineare) farebbe questo:
$P_4=P_1+P_3-P_2=[1:0:1]+[0:1:1]-[1:1:1]=[0:0:1]=>f(P_4)=f(P_1+P_3-P_2)=f(P_1)-f(P_2)+f(P_3)=[1:0:0]-[0:1:0]+[0:0:1]=[1:-1:1]!=[1:1:1]=f(P_4)$ e quindi l'applicazione cercata non esisterebbe.
mettiamo che invece hai sbagliato a digiatre, allora $P_1,P_2,P_3$ e $P'_1,P'_2,P'_3$ formano due riferimenti proiettivi.
quindi il quarto punto puoi dimenticarlo per creare la proiettività in quanto è una combinazione lineare di essi.
il ragionamento per creare l'applicazione cercata è come trovare un'applicazione lineare tra questi punti che puoi trattare come vettori essendo una proiettività il proiettivizzato dello spazio vettoriale di dimensione 3.
nota che $P'_1,P'_2,P'3_$ è la base canonica di $RR^3$! quindi devo trovare una matrice X tc $[P_1,P_2,P_3]*X=[P'_1,P'_2,P'_3]=I_d=>X=[P_1,P_2,P_3]^(-1)*I_d=[P_1,P_2,P_3]^(-1)$
quindi la proiettività cercata è data da $[(0,-1,1),(1,1,-1),(-1,0,1)]*[(x),(y),(z)]$ con $[(x),(y),(z)]\in\P^2(V)$
velocemente verifichi che i punti del proiettivo seguono le richieste cercate
spero di non aver scritto castronerie, se è così scusami
se non ti è chiaro qualcosa chiedi pure, ciaooo!
$P_4=P_1+P_3-P_2=[1:0:1]+[0:1:1]-[1:1:1]=[0:0:1]=>f(P_4)=f(P_1+P_3-P_2)=f(P_1)-f(P_2)+f(P_3)=[1:0:0]-[0:1:0]+[0:0:1]=[1:-1:1]!=[1:1:1]=f(P_4)$ e quindi l'applicazione cercata non esisterebbe.
mettiamo che invece hai sbagliato a digiatre, allora $P_1,P_2,P_3$ e $P'_1,P'_2,P'_3$ formano due riferimenti proiettivi.
quindi il quarto punto puoi dimenticarlo per creare la proiettività in quanto è una combinazione lineare di essi.
il ragionamento per creare l'applicazione cercata è come trovare un'applicazione lineare tra questi punti che puoi trattare come vettori essendo una proiettività il proiettivizzato dello spazio vettoriale di dimensione 3.
nota che $P'_1,P'_2,P'3_$ è la base canonica di $RR^3$! quindi devo trovare una matrice X tc $[P_1,P_2,P_3]*X=[P'_1,P'_2,P'_3]=I_d=>X=[P_1,P_2,P_3]^(-1)*I_d=[P_1,P_2,P_3]^(-1)$
quindi la proiettività cercata è data da $[(0,-1,1),(1,1,-1),(-1,0,1)]*[(x),(y),(z)]$ con $[(x),(y),(z)]\in\P^2(V)$
velocemente verifichi che i punti del proiettivo seguono le richieste cercate
spero di non aver scritto castronerie, se è così scusami
se non ti è chiaro qualcosa chiedi pure, ciaooo!
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