Prodotto tra matrici

[raff5184]

è sempre vero che $L^-1*A=U$ (con L= matrice triangolare bassa e U matrice triangolare alta, A matrice qualunque)?

[Megan00b]

beh evidentemente no... mi pare ovvio
a giudicare dalle lettere che hai usato suppongo tu stia studiando le fattorizzazioni LU di Gauss. In quel caso hai bisogno che la matrice A sia non singolare e in tal caso sai che esistono L e U triangolare inf. e sup. risp.te tali che A = LU.
Ma diciamo se scegli a caso una matrice qualsiasi, una triangolare inferiore e una triangolare superiore è difficile che sia A = LU. Ad esempio basta che prendi L con almenouno 0 sulla diagonale e allora ti giochi l'invertibilità.

[raff5184]

"Megan00b":a giudicare dalle lettere che hai usato suppongo tu stia studiando le fattorizzazioni LU di Gauss.

Sì, esatto


Allora quando scrivo il metodo di Gauss in forma matriciale (decomposizione LU) succede che: al primo passo posso scrivere

$E_1*A$
al secondo:

$E_2*(E_1*A)$

all'ultimo:
$E_n*E_(n-1)*...*E_1*A$

Dato che il prodotto di matrici triangolari è ancora una matrice triangolare posso scrivere $T*A$, con $T=(E_n*E_(n-1)*...*E_1)$. Ora, $TA=U$
Allora la domanda che mi viene è: è possibile che sia sempre vero?
Anche se poi con i calcoli non mi ritrovo che sia sempre vero, ma allora perché scriviamo che (matrice triangolare)*(matrice qualsiasi)=(matrice triangolare) ?

[Megan00b]

ok, mi sa che stai facendo un po' confusione.
Il metodo LU di Gauss si basa sul fatto che data una matrice A non singolare (quindi l'hai scelta A) puoi trovare una matrice tr. sup e una tr. inf. tali che A=LU. Il fatto che puoi scrivere $L^(-1)$... è perchè A è non singolare. L ed U dipendono da A nel senso che se prendi un'altra matrice B non singolare anche a lei puoi applicare la fattorizzazione ma L e U in generale saranno diverse. Il fatto che venga scritto "A matrice qualsiasi" vuol dire che per ogni A non singolare eistono L ed U tali che.... e non che esistono L ed U tali che per ogni matrice A....
E' chiaro?

[raff5184]

"Megan00b":ok, mi sa che stai facendo un po' confusione.
Il metodo LU di Gauss si basa sul fatto che data una matrice A non singolare (quindi l'hai scelta A) puoi trovare una matrice tr. sup e una tr. inf. tali che A=LU. Il fatto che puoi scrivere $L^(-1)$... è perchè A è non singolare. L ed U dipendono da A nel senso che se prendi un'altra matrice B non singolare anche a lei puoi applicare la fattorizzazione ma L e U in generale saranno diverse. Il fatto che venga scritto "A matrice qualsiasi" vuol dire che per ogni A non singolare eistono L ed U tali che.... e non che esistono L ed U tali che per ogni matrice A....
E' chiaro?

Ok, ora penso di aver capito:
allora, se A è nn sing posso scriverla come: $A=LU$. Poi posso invertire L (l'inversa è cmq triangolare): $L^-1A=U$ Ma la $L-1$ la scrivo come il prodotto di n matrici triangolari e quidi...
Giusto?