Prodotto tra matrici
Sotto quali condizioni il prodotto tra matrici è commutativo?
Risposte
Sotto questa condizione: $AB=BA$ 
"Tipper":
Sotto questa condizione: $AB=BA$
Aahuhauhuahuahuhauhuahuahuhauhauhauhuahuahuhauhauhauuhauhauhauhuahh
Se A è quadrata ed è $det A ne 0 $ allora esiste $B=A^(-1) $ e si ha :
$AB = BA =I $; quindi le due matrici $A, B $ commutano ma è un caso particolare.
$AB = BA =I $; quindi le due matrici $A, B $ commutano ma è un caso particolare.
"Camillo":
Se A è quadrata ed è $det A ne 0 $ allora esiste $B=A^(-1) $ e si ha :
$AB = BA =I $; quindi le due matrici $A, B $ commutano ma è un caso particolare.
Grazie, è già un primo passo... Sai qualcosa in merito a una situazione di questo genere: $BA^n=A^nB, n in NN$?
E' commutativo anche se $A,B$ sono diagonali e della stessa dimensione.
Rilancio la domanda di Kroldar ( non conosco la risposta) : quali sono le condizioni più generali per cui il prodotto tra matrici è commutativo ?
A parte i casi particolari indicati da me e da Crook c'è altro ?
A parte i casi particolari indicati da me e da Crook c'è altro ?
"Crook":
E' commutativo anche se $A,B$ sono diagonali e della stessa dimensione.
Anche io conosco questo caso particolare in cui il prodotto fra matrici è commutativo.
Su ogni campo $K$, la moltiplicazione fra matrici è commutativa sul sottoinsieme delle matrici diagonali in $K^(n,n)$. Queste sono le matrici $A = (a_{ij})_{1<=i,j<=n}$, con $a_{ij}=0$ per ogni $i!=j$.
Saluti, Ermanno.
In questo caso infatti il prodotto standard fra matrici coincide con il prodotto elemento per elemento, quindi...
"Kroldar":
... una situazione di questo genere: $BA^n=A^nB, n in NN$?
Un caso particolare che soddisfa quella condizione si ha quando $A$ è una matrice periodica di periodo $n$, o quantomeno periodica di un sottomultiplo di $n$.
Riporto, per chi non la conoscesse la definizione di matrice periodica [da Mathworld].
A square matrix A such that the matrix power $A^(k+1) = A $ for $k $ a positive integer is called a periodic matrix.
If $k $ is the least such integer, then the matrix is said to have period $ k $ .
If $ k = 1 $ then $A^2 = A $ and $A $ is called idempotent.
A square matrix A such that the matrix power $A^(k+1) = A $ for $k $ a positive integer is called a periodic matrix.
If $k $ is the least such integer, then the matrix is said to have period $ k $ .
If $ k = 1 $ then $A^2 = A $ and $A $ is called idempotent.
O più semplicemente $A^k = I$, dove $I$ è l'identità.
"Camillo":
Rilancio la domanda di Kroldar ( non conosco la risposta) : quali sono le condizioni più generali per cui il prodotto tra matrici è commutativo ?
A parte i casi particolari indicati da me e da Crook c'è altro ?
c'è un teorema (di "diagonalizzazione simultanea") che dice:
$A$ e $B$ sono diagonalizzabili simultaneamente $<=> AB=BA$.
Quando due matrici si dicono diagonalizzabili simultaneamente?
"Tipper":
Quando due matrici si dicono diagonalizzabili simultaneamente?
Thomas ti ha risposto proprio nel post precedente!Consiglio anche questo link: http://copernico.dm.unipi.it/~milani/dinsis/node67.html
Saluti, Ermanno.
Vuol dire entrambe diagonalizzabili? Pensavo ci fosse qualcos'altro di più profondo sotto...
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