Prodotto tensoriale con spazi di dimensione infinita
due domande veloci...
- è vero che se $V$ è uno spazio vettoriale sul campo $K$, allora
$V \otimes K \sim V$ come isomorfismo di spazi vettoriali?
- è vero che se prendo uno spazio vettoriale $V$ su $K$ e ci costruisco lo spazio vettoriale libero $K^V$, questo non è isomorfo ed è ben diverso da $V \otimes K$?
ovviamente nonostante l'apparenza non sono delle "yes-no questions!"...
- è vero che se $V$ è uno spazio vettoriale sul campo $K$, allora
$V \otimes K \sim V$ come isomorfismo di spazi vettoriali?
- è vero che se prendo uno spazio vettoriale $V$ su $K$ e ci costruisco lo spazio vettoriale libero $K^V$, questo non è isomorfo ed è ben diverso da $V \otimes K$?
ovviamente nonostante l'apparenza non sono delle "yes-no questions!"...
Risposte
ooops.... forse andavano in algebra?.... non mi ci sono ancora abituato a queste divisioni...
[mod="Fioravante Patrone"]No problem, l'ho spostato in geometria e algebra lineare.[/mod]
[mod="Fioravante Patrone"]No problem, l'ho spostato in geometria e algebra lineare.[/mod]
sia $F:V \otimes K -> K$ così definita sui tensori puri $F(v\otimes lambda)=lambda*v$ è un omomorfismo di spazi vettoriali (da verificare) chiaramente suriettivo vediamo l'iniettività
$F(\sum_{i=1}^n v_i \otimes lambda_i)=0 \Rightarrow \sum_{i=1}^n lambda_i*v_i=0 \Rightarrow lambda_n*v_n=-\sum_{i=1}^{n-1}lambda_i*v_i \Rightarrow v_n\otimes lambda_n=(lambda_n*v_n)\otimes 1=$
$-(\sum_{i=1}^{n-1}lambda_i*v_i)\otimes 1=-\sum_{i=1}^{n-1}(lambda_i*v_i)\otimes 1=-\sum_{i=1}^{n-1}(v_i\otimes lambda_i)$ ovvero $sum_{i=1}^n v_i \otimes lambda_i=0$
chi è $K^V$? non sono sicuro a cosa ti riferisci direi però che sono le combinazioni lineari formali di elementi di $V$ a coefficienti in $K$
questo vuol dire che hai $K^V={\sum_{i=1}^n lambda_i*v_i " t.c. " lambda_i in K,v_i in V}$ e lo puoi pensare come tante copie di K quanti sono gli elementi di V il fatto che V sia uno spazio vettoriale è del tutto ininfluente avresti potuto fare questa costruzione con un qualsiasi insieme. le somme in questo spazio si fanno sui coefficienti che hanno gli stessi "vettori indice" e due elementi di $K^V$ coincidono se hanno gli stessi scalari negli stessi posti (sempre indicizzati dai vettori), quindi se in $V$ come spazio vettoriale vale la relazione $u+v=w$ l'elemento $u+v$ di $K^V$ è diverso dall'elemento $w$ di $K^V$
immagino di non essere stato molto chiaro ma resto a tua disposizione
edit: con $K^V$ ti riferivi a quello?
$F(\sum_{i=1}^n v_i \otimes lambda_i)=0 \Rightarrow \sum_{i=1}^n lambda_i*v_i=0 \Rightarrow lambda_n*v_n=-\sum_{i=1}^{n-1}lambda_i*v_i \Rightarrow v_n\otimes lambda_n=(lambda_n*v_n)\otimes 1=$
$-(\sum_{i=1}^{n-1}lambda_i*v_i)\otimes 1=-\sum_{i=1}^{n-1}(lambda_i*v_i)\otimes 1=-\sum_{i=1}^{n-1}(v_i\otimes lambda_i)$ ovvero $sum_{i=1}^n v_i \otimes lambda_i=0$
chi è $K^V$? non sono sicuro a cosa ti riferisci direi però che sono le combinazioni lineari formali di elementi di $V$ a coefficienti in $K$
questo vuol dire che hai $K^V={\sum_{i=1}^n lambda_i*v_i " t.c. " lambda_i in K,v_i in V}$ e lo puoi pensare come tante copie di K quanti sono gli elementi di V il fatto che V sia uno spazio vettoriale è del tutto ininfluente avresti potuto fare questa costruzione con un qualsiasi insieme. le somme in questo spazio si fanno sui coefficienti che hanno gli stessi "vettori indice" e due elementi di $K^V$ coincidono se hanno gli stessi scalari negli stessi posti (sempre indicizzati dai vettori), quindi se in $V$ come spazio vettoriale vale la relazione $u+v=w$ l'elemento $u+v$ di $K^V$ è diverso dall'elemento $w$ di $K^V$
immagino di non essere stato molto chiaro ma resto a tua disposizione
edit: con $K^V$ ti riferivi a quello?
"rubik":
sia $F:V \otimes K -> K$ così definita sui tensori puri $F(v\otimes lambda)=lambda*v$ è un omomorfismo di spazi vettoriali (da verificare) chiaramente suriettivo vediamo l'iniettività
$F(\sum_{i=1}^n v_i \otimes lambda_i)=0 \Rightarrow \sum_{i=1}^n lambda_i*v_i=0 \Rightarrow lambda_n*v_n=-\sum_{i=1}^{n-1}lambda_i*v_i \Rightarrow v_n\otimes lambda_n=(lambda_n*v_n)\otimes 1=-(\sum_{i=1}^{n-1}lambda_i*v_i)\otimes 1=-\sum_{i=1}^{n-1}(lambda_i*v_i)\otimes 1=-\sum_{i=1}^{n-1}(v_i\otimes lambda_i)$ ovvero $sum_{i=1}^n v_i \otimes lambda_i=0$
chi è $K^V$? non sono sicuro a cosa ti riferisci direi però che sono le combinazioni lineari formali di elementi di $V$ a coefficienti in $K$
si mi pare vada bene... io me l'ero spiegato a mente considerando la $f: VxK -> V, (v,\lambda)->\lambda v$ e usando il fatto che questa poi induceva l'isomorfismo voluto (credo proprio quello che hai costruito a mano) per le proprietà universali dei prodotti tensori ma non ne ero sicuro... cmq l'importante è che sia vero!... ben ben
"rubik":
questo vuol dire che hai $K^V={\sum_{i=1}^n lambda_i*v_i " t.c. " lambda_i in K,v_i in V}$ e lo puoi pensare come tante copie di K quanti sono gli elementi di V il fatto che V sia uno spazio vettoriale è del tutto ininfluente avresti potuto fare questa costruzione con un qualsiasi insieme. le somme in questo spazio si fanno sui coefficienti che hanno gli stessi "vettori indice" e due elementi di $K^V$ coincidono se hanno gli stessi scalari negli stessi posti (sempre indicizzati dai vettori), quindi se in $V$ come spazio vettoriale vale la relazione $u+v=w$ l'elemento $u+v$ di $K^V$ è diverso dall'elemento $w$ di $K^V$
immagino di non essere stato molto chiaro ma resto a tua disposizione
edit: con $K^V$ ti riferivi a quello?
si si intendevo quello spazio lì (che si può vedere anche come l'insieme di funzioni da $V$ in $K$ con la struttura ovvia di spazio vettoriale, da cui la notazione) ...
non ho capito bene cosa intendevi che l' "isomorfismo" naturale $v \otimes k -> kv$ non funziona perchè:
$(v_1+v_2) \otimes q=v_1 \otimes q+v_2 \otimes q$ ma $(v_1+v_2)q!=v_1q+v_2q$
ciò non toglie che possano esistere isomorfismi meno "naturali" ovviamente...
anyway avevi questo in mente?
ora che ci penso cmq il prodotto tensore tra quei due spazi si può anche definire proprio quozientando $K^V$, quindi è normale che in genere non siano isomorfi...
in effetti avevo quello in mente ed ora che ci penso di nuovo non sono sicuro di aver detto cose corrette (nella seconda parte) 
forse c'è un problema di cardinalità delle basi, ma non voglio pronunciarmi di nuovo senza averci pensato su. magari domani trovo qualcosa, ciao
forse c'è un problema di cardinalità delle basi, ma non voglio pronunciarmi di nuovo senza averci pensato su. magari domani trovo qualcosa, ciao
ok ciao... grazie per le risposte cmq... è che in giro trovo ogni tanto in giro espressioni con prodotti tensori dei campi e volevo farmi un'idea...
cmq tornando alla prima questione se considero invece $V$ ed $R$ (i numeri reali) spazi vettoriali su $Q$ (razionali), in questo caso cosa mi diresti di $V \otimes R$ (il campo comune è Q)?
io direi che a questo punto aver fatto il prodotto tensore ha avuto un effetto ben diverso (lo dico solo perchè la tua costruzione non funziona più), anche se non so quale precisamente....
probabilmente queste cose sono ovvie, abbi pietà per uno che finora si è sempre fatto confondere da questi simboli
cmq tornando alla prima questione se considero invece $V$ ed $R$ (i numeri reali) spazi vettoriali su $Q$ (razionali), in questo caso cosa mi diresti di $V \otimes R$ (il campo comune è Q)?
io direi che a questo punto aver fatto il prodotto tensore ha avuto un effetto ben diverso (lo dico solo perchè la tua costruzione non funziona più), anche se non so quale precisamente....
probabilmente queste cose sono ovvie, abbi pietà per uno che finora si è sempre fatto confondere da questi simboli
quello che è sempre vero è che se prendi un K-spazio vettoriale tensorizzare con K non fa nulla, e la dimostrazione è quella sopra.
Supponiamo $V$ spazio vettoriale su $QQ$ con base numerabile allora $V=QQ[x]$
affermo $QQ[x] \otimes RR~=RR[x]$
la mappa è la stessa di prima $q(x)\otimes lambda->mu*q(x)$
supponi che $sum q_i(x)\otimes mu_i->0$ voglio scrivere $sum q_i(x)\otimes mu_i$ in un altro modo, lo faccio nel caso in cui la somma sono due soli tensori puri per non impazzire con le notazioni ma si fa uguale nel caso di una somma di più elementi (forse si può fare anche per induzione una volta fatto il caso n=2) comunque:
$q(x)ox a+p(x)ox b=(a_n*x^n+...+a_0)ox a+(b_n*x^n+...+b_0)ox b=$ (posso farli comparire allo stesso grado q(x) e p(x) semplicemente mettendo qualche coefficiente zero)
$=(a_n*x^n)ox a+...+a_0 ox a+(b_n*x^n)ox b+...+b_0 ox b=x^n ox (a_n*a)+...+1ox (a_0+a)+x^n ox (b_n*b)+...+1ox(b_0+b)=x^n ox(a_n*a+b_n*b)+...+x ox(a_1*a+b_1*b)+1ox(a_0*a+b_0*b)=sum_{i=1}^n x^i ox (a_i*a+b_i*b)$
quindi ogni elemento di $QQ[x] \otimes RR$ si può scrivere $sum_{i=1}^n x^i ox mu_i$ per opportuni $n in NN,mu_i in RR$ (qua si vede che è proprio $RR[x]$)
se $sum_{i=1}^n x^i ox mu_i->0 \Rightarrow sum mu_i*x^i=0 \Rightarrow mu_i=0 AAi$ e quindi era zero in partenza.
questo è tutto forse funziona anche con basi numerabili non lo so, ho finito le risorse mejo che esco e me bevo una birra! ciao
Supponiamo $V$ spazio vettoriale su $QQ$ con base numerabile allora $V=QQ[x]$
affermo $QQ[x] \otimes RR~=RR[x]$
la mappa è la stessa di prima $q(x)\otimes lambda->mu*q(x)$
supponi che $sum q_i(x)\otimes mu_i->0$ voglio scrivere $sum q_i(x)\otimes mu_i$ in un altro modo, lo faccio nel caso in cui la somma sono due soli tensori puri per non impazzire con le notazioni ma si fa uguale nel caso di una somma di più elementi (forse si può fare anche per induzione una volta fatto il caso n=2) comunque:
$q(x)ox a+p(x)ox b=(a_n*x^n+...+a_0)ox a+(b_n*x^n+...+b_0)ox b=$ (posso farli comparire allo stesso grado q(x) e p(x) semplicemente mettendo qualche coefficiente zero)
$=(a_n*x^n)ox a+...+a_0 ox a+(b_n*x^n)ox b+...+b_0 ox b=x^n ox (a_n*a)+...+1ox (a_0+a)+x^n ox (b_n*b)+...+1ox(b_0+b)=x^n ox(a_n*a+b_n*b)+...+x ox(a_1*a+b_1*b)+1ox(a_0*a+b_0*b)=sum_{i=1}^n x^i ox (a_i*a+b_i*b)$
quindi ogni elemento di $QQ[x] \otimes RR$ si può scrivere $sum_{i=1}^n x^i ox mu_i$ per opportuni $n in NN,mu_i in RR$ (qua si vede che è proprio $RR[x]$)
se $sum_{i=1}^n x^i ox mu_i->0 \Rightarrow sum mu_i*x^i=0 \Rightarrow mu_i=0 AAi$ e quindi era zero in partenza.
questo è tutto forse funziona anche con basi numerabili non lo so, ho finito le risorse mejo che esco e me bevo una birra!
ciao
oddio... ma $R$ mi sembra che avesse una base più che numerabile come spazio vettoriale su Q, come è possibile che tensorizzandolo con qualcosa si ottenga uno spazio vettoriale che una base che ha cardinalità solo numerabile? (ovvero R[x], ok è su R e non su Q quindi posso moltiplicare per un casino di coefficienti in più, però la cosa mi inquieta lo stesso...)
sembra controintuitivo...
sembra controintuitivo...
forse ho capito... è che $R[x]$ deve essere visto come uno spazio vettoriale su $Q$ e non su $R$, sorry.......
cmq vedrò bene ma potresti avermi fornito un prezioso modo per interpretare varie formule con il tuo ultimo esempio... illuminante! 
[quote=rubik][/quote]
Potresti editare la lunghissima riga di sommatoria spezzandola in più righe? Spani tutto il layout...
Potresti editare la lunghissima riga di sommatoria spezzandola in più righe? Spani tutto il layout...
"killing_buddha":
[quote="rubik"]
Potresti editare la lunghissima riga di sommatoria spezzandola in più righe? Spani tutto il layout...[/quote]
fatto anche se a me non lo spezzava
vorrei provare a rispondere alla tua domanda su $K^V$, ho fatto qualche ricerca per chiarirmi un po' le idee ed in effetti il problema è di cardinalità delle basi (wikipedia ne parla), riporto quello che ho capito:
se $X$ è una base di $V$ allora $V=o+_{v in X}K$ somma diretta di tante copie di K quanti sono gli elementi della base
$K^V=prod_{v in X}K$ qui invece il prodotto di tante copie di K quanti sono gli elementi della base la mappa $F->(F(v))_{v in X}$
il primo sono "vettori infiniti" con entrate nulle tranne un numero finito (in quanto un vettore è combinazione lineare finita dei vettori della base)
il secondo sono vettori infiniti con nessun vincolo sulle entrate (un funzionale può non annullarsi anche su un'infinità di vettori)
a quanto pare ci si aspetta che i secondi vettori siano molti di più (abbastanza da generare una base di cardinalità maggiore di quella di X)
le "rappresentazioni" di sopra ci dicono che $V$ è l'insieme delle funzioni $X->K$ a supporto finito, mentre $K^V$ è l'insieme delle funzioni qualsiasi. non so "stimare" le cardinalità di questi insiemi, quindi rimane il dubbio. spero tutto ciò sia stato utile
ciao
se $X$ è una base di $V$ allora $V=o+_{v in X}K$ somma diretta di tante copie di K quanti sono gli elementi della base
$K^V=prod_{v in X}K$ qui invece il prodotto di tante copie di K quanti sono gli elementi della base la mappa $F->(F(v))_{v in X}$
il primo sono "vettori infiniti" con entrate nulle tranne un numero finito (in quanto un vettore è combinazione lineare finita dei vettori della base)
il secondo sono vettori infiniti con nessun vincolo sulle entrate (un funzionale può non annullarsi anche su un'infinità di vettori)
a quanto pare ci si aspetta che i secondi vettori siano molti di più (abbastanza da generare una base di cardinalità maggiore di quella di X)
le "rappresentazioni" di sopra ci dicono che $V$ è l'insieme delle funzioni $X->K$ a supporto finito, mentre $K^V$ è l'insieme delle funzioni qualsiasi. non so "stimare" le cardinalità di questi insiemi, quindi rimane il dubbio. spero tutto ciò sia stato utile
ciao
si... chiedo perdono.... io usavo (erroneamente) $K^V$ con il senso di entrate finite.... è che il libro da cui prendevo la notazione (Mauro Nacinovich, ndr) scrive $K^{ (V) }$ per quello con entrate finite e $K^V$ per entrate infinite,... solo delle parentesi di differenza che mi hanno confuso...
cmq probabilmente le cose diventano ancora più interessanti quando si parla di prodotti tensori tra campi, dove (forse) non basta più dire che ci sono due basi con la stessa cardinalità per dire che gli oggetti sono isomorfi (come campi)...
va bè meglio che lascio perdere...
cmq probabilmente le cose diventano ancora più interessanti quando si parla di prodotti tensori tra campi, dove (forse) non basta più dire che ci sono due basi con la stessa cardinalità per dire che gli oggetti sono isomorfi (come campi)...
va bè meglio che lascio perdere...
"Thomas":
si... chiedo perdono.... io usavo (erroneamente) $K^V$ con il senso di entrate finite.... è che il libro da cui prendevo la notazione (Mauro Nacinovich, ndr) scrive $K^{ (V) }$ per quello con entrate finite e $K^V$ per entrate infinite,... solo delle parentesi di differenza che mi hanno confuso...
non hai niente da farti perdonare, non mi ero accorto della "confusione" e nel frattempo mi sono chiarito anch'io le idee. come ultima cosa voglio precisare che per quanto detto $V~=K^{(V)}$
per definire la mappa indichiamo con ${v_i}$ una base di $V$ e con $f_i$ il funzionale $f_i(v_j)=delta_(ij)$ la mappa sarà $v_i->f_i$ si vede che è iniettiva e suriettiva. Ho fatto un corso con Nacinovich e se il suo libro è come le sue dispense immagino che starai sudando 7 camicie
peraltro mi sto accorgendo di aumentare la confusione.... scusami.... la mia notazione è diversa, questa è quella definitiva (spero)....
dato $E$ un insieme e $K$ un campo, definiamo
$K^{(E)}={$funzioni da E in K diverse da 0 solo per un numero finito di elementi$}$
al quale poi si da la struttura di spazio vettoriale...
tu se ho ben capito invece prendi $E=V$ uno spazio vettoriale, prendi una base di questo spazio e poi consideri le funzioni dalla base in $K$ (quindi consideri molte meno funzioni)...
dovrebbe coincidere con la notazione del tuo prof... va bè basta intendersi...
dato $E$ un insieme e $K$ un campo, definiamo
$K^{(E)}={$funzioni da E in K diverse da 0 solo per un numero finito di elementi$}$
al quale poi si da la struttura di spazio vettoriale...
tu se ho ben capito invece prendi $E=V$ uno spazio vettoriale, prendi una base di questo spazio e poi consideri le funzioni dalla base in $K$ (quindi consideri molte meno funzioni)...
dovrebbe coincidere con la notazione del tuo prof
... va bè basta intendersi...
"Thomas":
peraltro mi sto accorgendo di aumentare la confusione.... scusami.... la mia notazione è diversa, questa è quella definitiva (spero)....
dato $E$ un insieme e $K$ un campo, definiamo
$K^{(E)}={$funzioni da E in K diverse da 0 solo per un numero finito di elementi$}$
al quale poi si da la struttura di spazio vettoriale...
tu se ho ben capito invece prendi $E=V$ uno spazio vettoriale, prendi una base di questo spazio e poi consideri le funzioni dalla base in $K$ (quindi consideri molte meno funzioni)...
dovrebbe coincidere con la notazione del tuo prof
non so se ti riferisci all'ultima cosa che ho scritto, io comunque mi riferivo alle funzioni $V->K$ lineari quindi definite dai valori che assumono su una base, per questo mi restringo sempre alla base, spero di non averti confuso con i miei interventi. ciao
"rubik":
non so se ti riferisci all'ultima cosa che ho scritto, io comunque mi riferivo alle funzioni $V->K$ lineari quindi definite dai valori che assumono su una base, per questo mi restringo sempre alla base, spero di non averti confuso con i miei interventi. ciao
un po' si mi sono confuso, ma in realtà oggi lo sono di per me... probabilmente il PC è rimasto acceso troppo ora lo spengo!
... eheh... deve essere questo il punto: io non le richiedo lineari....
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