Prodotto tensoriale
Ciao a tutti,
sto cercando di capire cosa si intenda con prodotto tensore tra due vettori.
Che differenza c'è tra prodotto tensore e prodotto diretto?
Ho letto che dati due spazi vettoriali V,W si definisce prodotto tensore tra i due spazi come la "somma formale" dei prodotti tensore dei vettori di base dei due spazi.
E' vera questa affermazione?Cosa si intende per "somma formale"?
Grazie
sto cercando di capire cosa si intenda con prodotto tensore tra due vettori.
Che differenza c'è tra prodotto tensore e prodotto diretto?
Ho letto che dati due spazi vettoriali V,W si definisce prodotto tensore tra i due spazi come la "somma formale" dei prodotti tensore dei vettori di base dei due spazi.
E' vera questa affermazione?Cosa si intende per "somma formale"?
Grazie
Risposte
Il prodotto tensoriale tra due spazi $V$ e $W$
è lo spazio vettoriale NON dei vettori -prodotto cartesiano.
MA:
delle cominazioni lineari tra i vettori di $V$ e $W$ -
quoziantato le combinazioni che abbiano come immagine il vettore nullo, di $V$ [or] di $W$.
-questa è la definizione formale, stringata più che sia riuscito a fare.
è lo spazio vettoriale NON dei vettori -prodotto cartesiano.
MA:
delle cominazioni lineari tra i vettori di $V$ e $W$ -
quoziantato le combinazioni che abbiano come immagine il vettore nullo, di $V$ [or] di $W$.
-questa è la definizione formale, stringata più che sia riuscito a fare.
Ok fin qui ci sono,ma mi sorge il dubbio riguardo la base dello spazio prodotto tensore tra V e W: le combinazioni lineari tra gli elementi di V e W sono tutti gli elementi dello spazio o sono i vettori di base?Perchè se fosse vero l'ultimo caso non capisco come si possa essere certi che le combinazioni lineari di vettori di base di V e W siano linearmente indipendenti tra di loro.
Non è lo spazio delle combinazioni lineari.
Ma lo spazio /quozientato/.
Mi scuso per la definizione più o meno "stretta": -l'ho fatto
apposta per dare una certa ampiezza al concetto.
Devo dire che io ho approcciato il prodotto tensoriale effettivamente in questo modo, mediante
definizioni "astratte".
Ho trovato sia stato molto utile.
La tua domanda è giustissima.
Ma lo spazio /quozientato/.
Mi scuso per la definizione più o meno "stretta": -l'ho fatto
apposta per dare una certa ampiezza al concetto.
Devo dire che io ho approcciato il prodotto tensoriale effettivamente in questo modo, mediante
definizioni "astratte".
Ho trovato sia stato molto utile.
La tua domanda è giustissima.
Mi scuso ma da umile studente di fisica (triennale) quale sono non ho mai avuto occasione di sentire spiegazioni su spazi quozientati!
I fatto che lo spazio sia quozientato le combinazioni che abbiano come immagine il vettore nullo, di V o di W,mi "salva" l'indipendeza lineare della combinazione dei vettori di V e W?
In che modo?
I fatto che lo spazio sia quozientato le combinazioni che abbiano come immagine il vettore nullo, di V o di W,mi "salva" l'indipendeza lineare della combinazione dei vettori di V e W?
In che modo?
E da umile studente di Ingegneria ti rispondo:
-penso che un matematico possa dirti meglio di me.
-Ci sto pensando ora -è una cosa che voglio chiarire per me.
-penso che un matematico possa dirti meglio di me.
-Ci sto pensando ora -è una cosa che voglio chiarire per me.
Se sei uno studente di fisica triennale, è forse più comodo mostrarti questi oggetti in un modo forse un po' più vicino al tuo normale modo di lavorare (con le coordinate).
Siano quindi $V$ e $W$ due spazi vettoriali di basi rispettivamente $\{ b_1, ... , b_m \}$ e $\{ c_1, ... , c_n \}$. Il prodotto tensoriale di $V$ e $W$, denotato $V \otimes W$, è lo spazio vettoriale di dimensione $m n$ e di base $\{ b_i \otimes c_j \}$ con $1 \le i \le m$ e $1 \le j \le n$. Se $M$ è una matrice di cambiamento di base in $V$ e $N$ è una matrice di cambiamento di base in $W$, la matrice di cambiamento di base che trasforma le basi di $V$ come $M$ e le basi di $W$ come $N$ è la matrice $M \otimes N$ data dal prodotto di Prodotto di Kronecker.
Il discorso è un po' più complicato di quello che orazioster abbia fatto intendere. "Quozientare uno spazio" significa più o meno aggiungere relazione, dire cioè quali sono i vettori che devono essere uguali a zero. Considera per esempio $R^3$ e supponiamo di voler "imporre la validità" di $3i + 7j = 0$. Vogliamo cioè uno spazio in cui quella relazione sia vera. Imporre la validità di quell'equazione significa principalmente richiedere che tutti i vettori che differiscono per un multiplo di quel vettore devono essere nulli. In particolare, avremo ad esempio che $i$ sarà uguale a $- (3/7) j$. È un po' quello che si fa quando si legge l'orologio. In questo caso vogliamo che 12 sia uguale a 0 e quindi tutti i numeri che differiscono da un multiplo di 12 avranno lo stesso valore (vedi 3 e 15). Un processo simile si fa per gli angoli quando supponi che $2 pi$ sia uguale a $0$. Questa operazione si può fare anche con gli spazi vettoriali e il risultato si chiama spazio quoziente. Nel caso dello spazio tensoriale si prende lo spazio vettoriale generato dai punti di $V \times W$ (le combinazioni lineari finite dei punti del prodotto cartesiano) e si vogliono uguagliare combinazioni lineari che si ottengono "per linearità", cioè si vogliono azzerare espressioni del tipo
$(\alpha v_1 + \beta v_2, w) - \alpha (v_1, w) - \beta (v_2, w)$
e
$(v, \alpha w_1 + \beta w_2) - \alpha (v, w_1) - \beta (v, w_2)$
per ogni $\alpha, \beta \in RR$, $v_1, v_2 \in V$ e $w_1, w_2 \in W$.
P.S. Ti consiglio di prenderti comunque un qualche testo di algebra lineare che contiene questi argomenti e provare a leggerti questi argomenti lì. La mia è solo una descrizione "intuitiva" e manca di formalismo.
EDIT: messo a posto le formule
Siano quindi $V$ e $W$ due spazi vettoriali di basi rispettivamente $\{ b_1, ... , b_m \}$ e $\{ c_1, ... , c_n \}$. Il prodotto tensoriale di $V$ e $W$, denotato $V \otimes W$, è lo spazio vettoriale di dimensione $m n$ e di base $\{ b_i \otimes c_j \}$ con $1 \le i \le m$ e $1 \le j \le n$. Se $M$ è una matrice di cambiamento di base in $V$ e $N$ è una matrice di cambiamento di base in $W$, la matrice di cambiamento di base che trasforma le basi di $V$ come $M$ e le basi di $W$ come $N$ è la matrice $M \otimes N$ data dal prodotto di Prodotto di Kronecker.
Il discorso è un po' più complicato di quello che orazioster abbia fatto intendere. "Quozientare uno spazio" significa più o meno aggiungere relazione, dire cioè quali sono i vettori che devono essere uguali a zero. Considera per esempio $R^3$ e supponiamo di voler "imporre la validità" di $3i + 7j = 0$. Vogliamo cioè uno spazio in cui quella relazione sia vera. Imporre la validità di quell'equazione significa principalmente richiedere che tutti i vettori che differiscono per un multiplo di quel vettore devono essere nulli. In particolare, avremo ad esempio che $i$ sarà uguale a $- (3/7) j$. È un po' quello che si fa quando si legge l'orologio. In questo caso vogliamo che 12 sia uguale a 0 e quindi tutti i numeri che differiscono da un multiplo di 12 avranno lo stesso valore (vedi 3 e 15). Un processo simile si fa per gli angoli quando supponi che $2 pi$ sia uguale a $0$. Questa operazione si può fare anche con gli spazi vettoriali e il risultato si chiama spazio quoziente. Nel caso dello spazio tensoriale si prende lo spazio vettoriale generato dai punti di $V \times W$ (le combinazioni lineari finite dei punti del prodotto cartesiano) e si vogliono uguagliare combinazioni lineari che si ottengono "per linearità", cioè si vogliono azzerare espressioni del tipo
$(\alpha v_1 + \beta v_2, w) - \alpha (v_1, w) - \beta (v_2, w)$
e
$(v, \alpha w_1 + \beta w_2) - \alpha (v, w_1) - \beta (v, w_2)$
per ogni $\alpha, \beta \in RR$, $v_1, v_2 \in V$ e $w_1, w_2 \in W$.
P.S. Ti consiglio di prenderti comunque un qualche testo di algebra lineare che contiene questi argomenti e provare a leggerti questi argomenti lì. La mia è solo una descrizione "intuitiva" e manca di formalismo.
EDIT: messo a posto le formule
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