Prodotto T4
Siano $X$ e $Y$ due spazi topologici tali che il prodotto $Xxx Y$ è T4. Si provi che $X$ e $Y$ sono T4.
Facciamo il caso con $X$ (analogamente si dimostra per $Y$).
Siano $F,G$ chiusi disgiunti in $X$. Si ha quindi che $FxxY$ e $GxxY$ sono chiusi disgiunti in $XxxY$, ma allora siccome $Xxx Y$ è T4 $EEA,B$ aperti disgiunti di $XxxY$ tale che $FxxYsubA$ e $GxxYsubB$. Ora se $X$ (e $Y$) fosse compatto potrei concludere usando il teorema di Wallace. Poichè non dice niente sul fatto che $X$ (e $Y$) sia compatto non so bene come procedere... L'unica cosa che posso dire è che $\pi_y(A)=\pi_y(B)=Y$ (con $\pi_y:XxxY->Y$ proiezione su $Y$), ma non so come procedere (sopratutto per il fatto che $\pi_x:XxxY->X$ proiezione su $X$ non è necessariamente aperta...). Qualcuno mi sa dire?
Facciamo il caso con $X$ (analogamente si dimostra per $Y$).
Siano $F,G$ chiusi disgiunti in $X$. Si ha quindi che $FxxY$ e $GxxY$ sono chiusi disgiunti in $XxxY$, ma allora siccome $Xxx Y$ è T4 $EEA,B$ aperti disgiunti di $XxxY$ tale che $FxxYsubA$ e $GxxYsubB$. Ora se $X$ (e $Y$) fosse compatto potrei concludere usando il teorema di Wallace. Poichè non dice niente sul fatto che $X$ (e $Y$) sia compatto non so bene come procedere... L'unica cosa che posso dire è che $\pi_y(A)=\pi_y(B)=Y$ (con $\pi_y:XxxY->Y$ proiezione su $Y$), ma non so come procedere (sopratutto per il fatto che $\pi_x:XxxY->X$ proiezione su $X$ non è necessariamente aperta...). Qualcuno mi sa dire?
Risposte
Ricorda che $X$ è omeomorfo a $X\times{y}$ per qualsiasi $y\inY$ e $Y$ è omeomorfo a ${x}\timesY$ per qualsiasi $x\inX$, come sono questi insiemi all'interno del prodotto (magari dimostra prima che $X$ e $Y$ sono $T_1$)? E comunque le proiezioni sono aperte.
"otta96":
Ricorda che $X$ è omeomorfo a $X\times{y}$ per qualsiasi $y\inY$ e $Y$ è omeomorfo a ${x}\timesY$ per qualsiasi $x\inX$...
Ma questo non è vero se e solo se le proiezioni su $X$ e $Y$ sono aperte? (Ho fatto un teorema a proposito)
"otta96":Beh se $X$ e $Y$ fossero T1 allora ${x}$ e ${y}$ sarebbero dei chiusi di $X$ e $Y$ e quinsi ${x}xxY$ e $Xxx{y}$ sarebbero dei chiusi in $XxxY$
Ricorda che $X$ è omeomorfo a $X\times{y}$ per qualsiasi $y\inY$ e $Y$ è omeomorfo a ${x}\timesY$ per qualsiasi $x\inX$, come sono questi insiemi all'interno del prodotto (magari dimostra prima che $X$ e $Y$ sono $T_1$)?
"andreadel1988":
Ma questo non è vero se e solo se le proiezioni su $X$ e $Y$ sono aperte? (Ho fatto un teorema a proposito)
È sempre vero, il che non è nemmeno in contraddizione con quello che dici perchè le proiezioni sono aperte.
Io con le proiezioni intendo $\pi_x:XxxY->X$ e $\pi_y:XxxY->Y$ che sono continue, ma in generale non mi risultano aperte... Tu dici perchè in questo caso $X$ e $Y$ sono T1?
Mi fai un controesempio?
Ah no ok ho trovato che le proiezioni, oltre ad essere continue, sono aperte, cioè la proiezione di un aperto è un aperto. Non sono invece in generale chiuse. Mi sono confuso.
Esatto quindi? E ricorda (o se non lo sai sappilo) che un chiuso in un $T_4$ è $T_4$.
"otta96":
Esatto quindi?
Beh se ho che $FxxYsubA$ e $GxxYsubB$ aperti e disgiunti di $XxxY$, si ha che $\pi_1(A)$ e $\pi_1(B)$ sono due aperti di $X$ disgiunti tali che $Fsub\pi_1(A)$ e $Gsub\pi_1(B)$
Non è detto che siano disgiunte però le proiezioni.
"otta96":
Ricorda che $X$ è omeomorfo a $X\times{y}$ per qualsiasi $y\inY$ e $Y$ è omeomorfo a ${x}\timesY$ per qualsiasi $x\inX$, come sono questi insiemi all'interno del prodotto (magari dimostra prima che $X$ e $Y$ sono $T_1$)? E comunque le proiezioni sono aperte.
Ho capito il tuo ragionamento, l'unica cosa è che non riesco a mostrare che $X$ e $Y$ sono T1. Ad esempio ho provato a prendere due punti distinti in $Y$ e mostrare che esistono due aperti che contengono un punto e non l'altro e viceversa. Ho quindi proiettato sul prodotto, ma non riesco a concluderci niente... Ho provato anche a ragionare per assurdo ma niente... Mi potresti aiutare?
Comunque non sono molto sicuro che $X$ e $Y$ siano T1...
In effetti mi sa che in generale non lo sono, ma non è che te nella definizione di $T_4$ includi che lo siano?
"otta96":
In effetti mi sa che in generale non lo sono, ma non è che te nella definizione di $T_4$ includi che lo siano?
No no, la definizione di T4 è: per ogni $F,G$ chiusi disgiunti esistono due aperti $U,V$ disgiunti tali che $FsubU$ e $GsubV$. Mentre la definizione di T1 è che presi due punti distinti $x,y$ esistono due aperti $U,V$ tali che $x inU,ynotinU,yinV,xnotinV$
"andreadel1988":
Beh se ho che $FxxYsubA$ e $GxxYsubB$ aperti e disgiunti di $XxxY$, si ha che $\pi_1(A)$ e $\pi_1(B)$ sono due aperti di $X$ disgiunti tali che $Fsub\pi_1(A)$ e $Gsub\pi_1(B)$
Però repensandoci, se invece di fare la proiezione fai la retroimmagine di un immersione, riesci a concludere.
"otta96":
Però repensandoci, se invece di fare la proiezione fai la retroimmagine di un immersione, riesci a concludere.
Ah tu dici per esempio di fare l'immersione di $X$ in $XxxY$, attraverso ad esempio l'omeomorfismo $f$ tra $X$ e $Xxx{y}$ con $yinY$ e quindi $f^-1(Ann(Xxx{y}))$ e $f^-1(Bnn(Xxx{y}))$ sono due aperti disgiunti tali che $Fsubf^-1(Ann(Xxx{y}))$ e $Gsubf^-1(Bnn(Xxx{y}))$?
Si.
Ok, grazie mille
Ritorno su questo post solo per riscrivere in modo completo la soluzione:
Mostriamo il caso $X$ è T4 (analogo per $Y$).
Consideriamo l'immersione $i_1:X->XxxY$ (ovvero scelto $yinY$ si ha che $i_1:X->Xxx{y}$ è un omeomorfismo). Siano $F,G$ due chiusi non vuoti disgiunti in $X$, si ha che $FxxY$ e $GxxY$ sono due chiusi disgiunti in $XxxY$. Siccome $XxxY$ è T4 allora $EEA,B$ aperti di $XxxY$ tali che $FxxYsubeA$, $GxxYsubeB$ e $AnnB=∅$, si ha che $i_1^-1(A),i_1^-1(B)$ sono aperti disgiunti di $X$ tali che $i_1^-1(A)subeF$ e $i_1^-1(B)subeG$, per cui $X$ è T4.
Mostriamo il caso $X$ è T4 (analogo per $Y$).
Consideriamo l'immersione $i_1:X->XxxY$ (ovvero scelto $yinY$ si ha che $i_1:X->Xxx{y}$ è un omeomorfismo). Siano $F,G$ due chiusi non vuoti disgiunti in $X$, si ha che $FxxY$ e $GxxY$ sono due chiusi disgiunti in $XxxY$. Siccome $XxxY$ è T4 allora $EEA,B$ aperti di $XxxY$ tali che $FxxYsubeA$, $GxxYsubeB$ e $AnnB=∅$, si ha che $i_1^-1(A),i_1^-1(B)$ sono aperti disgiunti di $X$ tali che $i_1^-1(A)subeF$ e $i_1^-1(B)subeG$, per cui $X$ è T4.
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