Prodotto scalare traccia
Devo trovare l'insieme ortogonale al sottospazio delle matrici n simmetriche dentro lo spazio delle matrici n quadrate rispetto al prodotto scalare $ < A , B > = tr ( ^t A * B ) $
Ora, verificato che esso è un prodotto scalare, supponendo A simmetrica, mi riduco a dover trovare le matrici B tali che $ < A , B > = tr ( A , B ) = 0 $ .
Ho cominciato col provare a imporre che gli elementi sulla diagonale di A*B siano nulli ma non ne ho ricavato nulla, poi ho pensato che traccia di A*B è sempre nulla se la matrice risultante è nilpotente ma penso sia una condizione sufficiente, ma non necessaria..
Avreste dei consigli per aiutarmi ad andare avanti?
Ora, verificato che esso è un prodotto scalare, supponendo A simmetrica, mi riduco a dover trovare le matrici B tali che $ < A , B > = tr ( A , B ) = 0 $ .
Ho cominciato col provare a imporre che gli elementi sulla diagonale di A*B siano nulli ma non ne ho ricavato nulla, poi ho pensato che traccia di A*B è sempre nulla se la matrice risultante è nilpotente ma penso sia una condizione sufficiente, ma non necessaria..
Avreste dei consigli per aiutarmi ad andare avanti?
Risposte
Prova a pensare che:
la traccia è invariante per una rotazione della base -intendo
la base in $\RR^n$ per i vettori colonna delle matrici.
E che una matrice simmetrica è diagonalizzabile.
Troverai che la condizione su $B$ è che abbia elementi diagonali tutti nulli.
la traccia è invariante per una rotazione della base -intendo
la base in $\RR^n$ per i vettori colonna delle matrici.
E che una matrice simmetrica è diagonalizzabile.
Troverai che la condizione su $B$ è che abbia elementi diagonali tutti nulli.
Penso di averlo risolto tipo così ( spero sia una soluzione! ):
Si ha (sempre, proprietà della traccia) che $ tr(C*D) = tr(D*C) $ e dunque, chiamata A la matrice simmetrica, per il nostro prodotto scalare si ha:
$ tr(^tA*B) = tr(A*B)= tr (B*A) $
e
$ tr(^tA*B) = tr(^tB*A) $
ma allora, se A simmetrica, si ha, sottraendo le due espressioni così ottenute:
$ tr ((^tB-B)*A) = 0 $
qualsiasi sia A.
Si ha (sempre, proprietà della traccia) che $ tr(C*D) = tr(D*C) $ e dunque, chiamata A la matrice simmetrica, per il nostro prodotto scalare si ha:
$ tr(^tA*B) = tr(A*B)= tr (B*A) $
e
$ tr(^tA*B) = tr(^tB*A) $
ma allora, se A simmetrica, si ha, sottraendo le due espressioni così ottenute:
$ tr ((^tB-B)*A) = 0 $
qualsiasi sia A.
Quello che hai
trovato è che la traccia di
-una matrice antisimmetrica(cioè $(B^T-B)$) moltiplicata per una simmetrica è nulla.
Ma questo non ti dice di una generalità del sottospazio ortogonale che cerchi.
Io avevo pensato:
poichè la traccia è invariante per
una rotazione della base dei vettori colonna della matrice,
moltiplico a sinistra $(A^T*B)$ per
una matrice di rotazione $C$ tale che $C$ diagonalizzi $A$.
$tr(A^T*B)=tr(A*B)=tr(C*(A*B))=tr((C*A)*B)=tr(D*B)$.
Ora, la traccia di $(D*B)$ è il prodotto scalare tra il vettore che ammetta come sue componenti gli elementi diagonali ordinati di $D$ (gli autovalori), e quello che ammetta quelli di $B$.
Poichè vogliamo che questo prodotto sia nullo per ogni matrice simmetrica $A$, cioè per
ogni $n-pla$ di autovalori, ne segue
che la diagonale di $B$ debba essere di elementi tutti nulli.
trovato è che la traccia di
-una matrice antisimmetrica(cioè $(B^T-B)$) moltiplicata per una simmetrica è nulla.
Ma questo non ti dice di una generalità del sottospazio ortogonale che cerchi.
Io avevo pensato:
poichè la traccia è invariante per
una rotazione della base dei vettori colonna della matrice,
moltiplico a sinistra $(A^T*B)$ per
una matrice di rotazione $C$ tale che $C$ diagonalizzi $A$.
$tr(A^T*B)=tr(A*B)=tr(C*(A*B))=tr((C*A)*B)=tr(D*B)$.
Ora, la traccia di $(D*B)$ è il prodotto scalare tra il vettore che ammetta come sue componenti gli elementi diagonali ordinati di $D$ (gli autovalori), e quello che ammetta quelli di $B$.
Poichè vogliamo che questo prodotto sia nullo per ogni matrice simmetrica $A$, cioè per
ogni $n-pla$ di autovalori, ne segue
che la diagonale di $B$ debba essere di elementi tutti nulli.
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