Prodotto scalare positivo, dimostrazione
Scusate ho un problema con questo esercizio(con soluzione data):
Devo dimostrare che $<,>:M_(m,n)(R) "x" M_(m,n)(R) rarr R$ t.c $ =tr(B^TA)$ è un prodotto scalare def.positivo.
Io, prima di tutto, ho dimostrato la linearità sul primo argomento (additività e omogeneità, ovvero $$ e poi $<\lambdaA,B>$) e fin qui tutto ok. Stavo per fare la stessa cosa per il secondo argomento (pur sapendo che avrebbe funzionato) però poi ho notato che il libro, per dimostrare la bilinearità, usa una semplice frase, "la bilinearità segue subito dalla linearità della traccia". Io sapevo che la traccia fosse lineare ma non capisco perché ciò comporta che quel prodotto scalare sia bilineare?
Poi ho provato la simmetria con la nota proprietà della traccia e fin qui ok.
Infine per provare la positività ho preso una matrice generica $A \in M_(n)(R)$ e mi son fatto un sacco di conti per arrivare a dire che la traccia è uguale alla somma di $(a_11a_11+...+a_(m1)a_(m1)) +(a_12a_12+...+a_(m2)a_(m2))+...+(a_(1n)a_(1n)+..+a_(mn)a_(mn))$ somma di somme di quadrati e quindi positiva.
Il libro salta tutti questo e afferma di osservare che
$tr(A^T*A)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_(ij)^2 >=0$
Mi confermate se quel prodotto di sommatorie (se qualcuno potesse anche dirmi come esplicitare un prodotto di sommatorie del genere mi sarebbe di grande aiuto, anche scrivendomi i primi addendi dato che è la prima volta che lo incontro) è equivalente ai miei calcoli?
Devo dimostrare che $<,>:M_(m,n)(R) "x" M_(m,n)(R) rarr R$ t.c $
Io, prima di tutto, ho dimostrato la linearità sul primo argomento (additività e omogeneità, ovvero $
Poi ho provato la simmetria con la nota proprietà della traccia e fin qui ok.
Infine per provare la positività ho preso una matrice generica $A \in M_(n)(R)$ e mi son fatto un sacco di conti per arrivare a dire che la traccia è uguale alla somma di $(a_11a_11+...+a_(m1)a_(m1)) +(a_12a_12+...+a_(m2)a_(m2))+...+(a_(1n)a_(1n)+..+a_(mn)a_(mn))$ somma di somme di quadrati e quindi positiva.
Il libro salta tutti questo e afferma di osservare che
$tr(A^T*A)=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_(ij)^2 >=0$
Mi confermate se quel prodotto di sommatorie (se qualcuno potesse anche dirmi come esplicitare un prodotto di sommatorie del genere mi sarebbe di grande aiuto, anche scrivendomi i primi addendi dato che è la prima volta che lo incontro) è equivalente ai miei calcoli?
Risposte
Se postcomponi una lineare a una bilineare ottieni ancora una bilineare, questo è facile da vedere.
Poi, devi provare che per ogni matrice \( A\neq 0 \) è \( \mathrm{tr}(A^t A) > 0 \). Se l'entrata \( (i,j) \)-esima di \( A \) è \( a_{ij} \), per due \( 1\leqq i\leqq n \) e \( 1\leqq j\leqq n \), hai che l'entrata \( (i,j) \)-esima di \( A^tA \) è \( \sum_{1\leqq \nu\leqq n}a_{\nu i}a_{\nu j} \), e quindi se \( i = j \) quella somma è \( \sum_{1\leqq \nu\leqq n}a_{\nu i}^2 \). Per questo hai che \( \mathrm{tr}(A^tA) = \sum_{\lambda = 1}^n{\left(\sum_{1\leqq \nu\leqq n}a_{\nu \lambda}^2\right)} \), che in quanto \( \sum \) di cose \( \geqq 0 \) è \( \geqq 0 \) (morale: quello non era un prodotto di sommatorie).
Ovviamente in questo messaggio tutti gli \( a_{ij} \) stanno in \( \mathbb R \).
Poi, devi provare che per ogni matrice \( A\neq 0 \) è \( \mathrm{tr}(A^t A) > 0 \). Se l'entrata \( (i,j) \)-esima di \( A \) è \( a_{ij} \), per due \( 1\leqq i\leqq n \) e \( 1\leqq j\leqq n \), hai che l'entrata \( (i,j) \)-esima di \( A^tA \) è \( \sum_{1\leqq \nu\leqq n}a_{\nu i}a_{\nu j} \), e quindi se \( i = j \) quella somma è \( \sum_{1\leqq \nu\leqq n}a_{\nu i}^2 \). Per questo hai che \( \mathrm{tr}(A^tA) = \sum_{\lambda = 1}^n{\left(\sum_{1\leqq \nu\leqq n}a_{\nu \lambda}^2\right)} \), che in quanto \( \sum \) di cose \( \geqq 0 \) è \( \geqq 0 \) (morale: quello non era un prodotto di sommatorie).
Ovviamente in questo messaggio tutti gli \( a_{ij} \) stanno in \( \mathbb R \).
1-)Per post-composizione cosa intendi dire? che la composizione di una forma bilineare con una lineare conserva la bilinearità (lo devo dimostrare). Io in questo caso ho una forma lineare all'interno di una (non ancora dimostrato) forma bilineare giusto?
2-)La notazione che hai nella tua spiegazione non mi è chiara: quello che tu hai scritto, in parole molto povere, significa che, presa una matrice quadrata $A$, siccome la $trA$ è formata da elementi con indici di riga e colonna uguali (diagonale principale) e siccome la trasposizione non influisce sulla diagonale principale, mi ritrovo quel quadrato quando faccio la sommatoria degli elementi sulla diagonale di $A^tA$. Tuttavia non capisco quegli indici che hai messo tra $1$ e $n$ (le tue sommatorie vanno entrambe da $1$ ad $n$ mentre sul libro quella più esterna va fino ad $m$), né la seconda sommatoria(quella al di fuori delle parentesi tonde) né tanto meno l'ordine delle due (perché prima $m$ e poi $n$). Puoi spiegarmi meglio ciò che hai scritto, non ho le idee molto chiare ancora (ovviamente se ne hai voglia). Intanto ti ringrazio già per avermi risposto
2-)La notazione che hai nella tua spiegazione non mi è chiara: quello che tu hai scritto, in parole molto povere, significa che, presa una matrice quadrata $A$, siccome la $trA$ è formata da elementi con indici di riga e colonna uguali (diagonale principale) e siccome la trasposizione non influisce sulla diagonale principale, mi ritrovo quel quadrato quando faccio la sommatoria degli elementi sulla diagonale di $A^tA$. Tuttavia non capisco quegli indici che hai messo tra $1$ e $n$ (le tue sommatorie vanno entrambe da $1$ ad $n$ mentre sul libro quella più esterna va fino ad $m$), né la seconda sommatoria(quella al di fuori delle parentesi tonde) né tanto meno l'ordine delle due (perché prima $m$ e poi $n$). Puoi spiegarmi meglio ciò che hai scritto, non ho le idee molto chiare ancora (ovviamente se ne hai voglia). Intanto ti ringrazio già per avermi risposto
Stavo rivedendo i calcoli e ho notato che la traccia può essere scritta così:
$\sum_{i=1}^m a_(i1)+\sum_{i=1}^m a_(i2)+....+\sum_{i=1}^m a_(i*n) $
Perché allora la sommatoria da 1 a n viene messa più internamente. Non ha molto senso
$\sum_{i=1}^m a_(i1)+\sum_{i=1}^m a_(i2)+....+\sum_{i=1}^m a_(i*n) $
Perché allora la sommatoria da 1 a n viene messa più internamente. Non ha molto senso
In 1) intendo che se hai una funzione bilineare \( g\colon V\times W\to U \) e una funzione lineare \( \phi\colon U\to Z \), allora la composta \( \phi\circ g\colon V\times W\to Z \) è ancora bilineare. Ora, la traccia è la tua \( \phi \), e l'applicazione che mappa \( (A,B)\mapsto B^tA \) è la tua \( g \).
In 2) non mi ero accorto che stavi usando matrici \( {\color{red}m}\times n \). Ovviamente quello che ho scritto vale anche in quel caso. Hai chiara la definizione di traccia di una matrice? È la somma degli elementi della diagonale. Quello che ho detto prima quindi è che, siccome gli elementi della diagonale della matrice \( B^tA \) sono somme di quadrati (e quindi somme di cose \( \geqq 0 \), e quindi cose \( \geqq 0 \)), allora anche la traccia di \( B^tA \) è \( \geqq 0 \) (perché è somma di somme di cose \( \geqq 0 \), e quindi somma di...).
In 2) non mi ero accorto che stavi usando matrici \( {\color{red}m}\times n \). Ovviamente quello che ho scritto vale anche in quel caso. Hai chiara la definizione di traccia di una matrice? È la somma degli elementi della diagonale. Quello che ho detto prima quindi è che, siccome gli elementi della diagonale della matrice \( B^tA \) sono somme di quadrati (e quindi somme di cose \( \geqq 0 \), e quindi cose \( \geqq 0 \)), allora anche la traccia di \( B^tA \) è \( \geqq 0 \) (perché è somma di somme di cose \( \geqq 0 \), e quindi somma di...).
Ok grazie mille Marco per la spiegazione
Prego. Mai hai capito? perché sennò chiedi...
@marco21324k
Non è vero che $Tr(B^TA)$ è una somma di quadrati e non è quello che deve dimostrare!
Abbiamo un'applicazione che associa a $B^TA -> Tr(B^TA)$ dove $A,BinM_(mxn)(RR)$, quindi è un prodotto scalare. Ci viene chiesto se è un prodotto scalare definito positivo.
Ovvero:"presa una matrice qualsiasi $KinM_(mxn)(RR)$, non nulla, è vero che $Tr(K^TK)>0$ sempre?"
Indichiamo con $k_i$ con $i=1,2,...,n$ le colonne di $K$
La matrice $S_(nxn)=K^TK$ è una matrice simmetrica i cui elementi sulla diagonale sono le norme al quadrato $k_i^T*k_i=||k_i||^2$ pertanto $Tr(K^TK)=sum_(i=1)^n ||k_i||^2>=0$
Una somma di quadrati è uguale a zero se e solo se $||k_i||^2=0 AAi$ e l'unico modo per cui possa accadere è che tutte le colonne di $K$ siano nulle. Quindi $Tr(K^TK)>0$ sempre.
Edit: dimenticato un pedice
Non è vero che $Tr(B^TA)$ è una somma di quadrati e non è quello che deve dimostrare!
Abbiamo un'applicazione che associa a $B^TA -> Tr(B^TA)$ dove $A,BinM_(mxn)(RR)$, quindi è un prodotto scalare. Ci viene chiesto se è un prodotto scalare definito positivo.
Ovvero:"presa una matrice qualsiasi $KinM_(mxn)(RR)$, non nulla, è vero che $Tr(K^TK)>0$ sempre?"
Indichiamo con $k_i$ con $i=1,2,...,n$ le colonne di $K$
La matrice $S_(nxn)=K^TK$ è una matrice simmetrica i cui elementi sulla diagonale sono le norme al quadrato $k_i^T*k_i=||k_i||^2$ pertanto $Tr(K^TK)=sum_(i=1)^n ||k_i||^2>=0$
Una somma di quadrati è uguale a zero se e solo se $||k_i||^2=0 AAi$ e l'unico modo per cui possa accadere è che tutte le colonne di $K$ siano nulle. Quindi $Tr(K^TK)>0$ sempre.
Edit: dimenticato un pedice
La traccia di \( K^tK \) non è una somma di quadrati; ho detto che è una somma di (somme di quadrati). Poi sì non ho dimostrato che \( \mathrm{Tr}(K^tK)\neq 0 \) ma era per vedere se eravate attenti 
"marco2132k":
La traccia di \( K^tK \) non è una somma di quadrati; ho detto che è una somma di (somme di quadrati).
Una somma di somme di quadrati è una somma di quadrati
Mi riferivo a questo:
"marco2132k":
siccome gli elementi della diagonale della matrice \( B^tA \) sono somme di quadrati (e quindi somme di cose \( \geqq 0 \), e quindi cose \( \geqq 0 \)), allora anche la traccia di \( B^tA \) è \( \geqq 0 \) (perché è somma di somme di cose \( \geqq 0 \), e quindi somma di...).
Sono certo che tu intendessi $A^tA$: quindi potenzialmente poteva confondere SteezyMenchi.
Bisogna essere semplici con lui
Ah, ecco perché non capiva ahah
Colpito e affondato. La mia faccia leggendo l'ultima frase di Bokonon era simile al meme in cui il tizio ha la maschera dove ride e sotto sta piangendo. Ringrazio profondamente sia te Marco che te Bokonon (il fatto che la diagonale contenesse la norma delle colonne al quadrato non mi aveva nemmeno sfiorato) il vostro modo di risolvere l'esercizio è davvero "elegante" e chiaro(le vostre risposte sono simili alle dimostrazioni del mio libro, non posso che provare ammirazione 
)
)
@SteezyMenchi
Lusingato ma è questione di esperienza (e riflessione)
Comunque sia, non era mia intenzione deprimerti, anzi.
La semplicità è necessaria per far comprendere i concetti e creare la scala (in senso wittgensteiniano) per l'astrazione.
Marco ne sa moooooolto più me di matematica: forse per questo tende a spiegare le cose in modo troppo astratto per chi affronta la materia per la prima volta.
6.54 Le mie proposizioni fanno chiarezza in questo modo: colui che mi comprende, infine le riconosce sensate, se è salito per esse – su di esse – oltre esse. (Egli deve, per così dire, gettar via la scala dopo che vi è salito).
Egli deve superare queste proposizioni; allora vede rettamente il mondo.
Lusingato ma è questione di esperienza (e riflessione)
Comunque sia, non era mia intenzione deprimerti, anzi.
La semplicità è necessaria per far comprendere i concetti e creare la scala (in senso wittgensteiniano) per l'astrazione.
Marco ne sa moooooolto più me di matematica: forse per questo tende a spiegare le cose in modo troppo astratto per chi affronta la materia per la prima volta.
6.54 Le mie proposizioni fanno chiarezza in questo modo: colui che mi comprende, infine le riconosce sensate, se è salito per esse – su di esse – oltre esse. (Egli deve, per così dire, gettar via la scala dopo che vi è salito).
Egli deve superare queste proposizioni; allora vede rettamente il mondo.
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