Prodotto scalare polinomiale

[JIMMY88]

si trovi la matrice associata al prodotto scalare
=-p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(-1)q(-1)

rispetto alla base {1,x,x^2}

vi prego aiutatemi...

[killing_buddha]

Ma sta applicazione va da $\mathbb{R}^3\times \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$?

[amel3]

Non vedo il problema... Basta scrivere la matrice:
$()$, $i,j=1,2,3$, dove
$v_1=1, v_2=x, v_3=x^2$.
Sbaglio?

P.S.: Notare che il prodotto scalare non è nè semidefinito positivo nè semidefinito negativo...

P.S. 2: $<,>:RR[x]_2 \ x \ RR[x]_2 -> RR$

[killing_buddha]

Si, scusate, un brutto lapsus

[gugo82]

"amel":P.S.: Notare che il prodotto scalare non è nè semidefinito positivo nè semidefinito negativo...

P.S. 2: $<,>:\mathbf{K}[x]_2 \ x \ \mathbf{K}[x]_2 -> RR$

Scusate ma allora $langle \cdot , \cdot rangle$ non sarebbe un prodotto scalare in $\mathbf{K}[x]_2$... Si tratterebbe semplicemente di un'applicazione bilineare.

Infatti, mentre si ha $langle p, p rangle = p(0)^2+p(1)^2+p(-1)^2 ge0$ per ogni $p in \mathbf{K}[x]_2$, la condizione $langle p,p rangle = 0$ non implica necessariamente $p=0$ (tuttavia se il campo $\mathbf{K}$ è infinito allora un polinomio di grado $2$ che ha tre zeri è identicamente nullo, o sbaglio?).

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

$$ $=-p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(-1)q(-1)$

Giusto?

@Gugo82: se $K$ è un qualunque campo allora ogni polinomio di $K[X]$ di grado $n$ ha al più $n$ zeri. Ma non credo che ciò si possa applicare qui, per via di quel $-$ che c'è davanti a $p(0)q(0)$.

Anzi credo proprio che questa forma $$ ammetta un bel po' di polinomi isotropi (quindi non è un prodotto scalare?).

[gugo82]

Chiedo venia, non avevo visto il $-$ iniziale.

Allora tanto vale dire che $langle \cdot, \cdot rangle$ è una forma bilineare e basta, tanto più che nella definizione di prodotto scalare è insita la definitezza positiva.

[JIMMY88]

ma la matrice associata qual è??

[gugo82]

"dev_vin":ma la matrice associata qual è??

Fai i conti seguendo il consiglio di amel:

"amel":Basta scrivere la matrice:
$( langle v_i,v_j rangle)$, $i,j=1,2,3$, dove
$v_1=1, v_2=x, v_3=x^2$.

Non è difficile.

[JIMMY88]

sono mooolto ignorante=)
nn è che mi potresti postare la matrice??!!

[gugo82]

L'ignoranza non è una scusa per evitare i calcoli.

Susu, prendi una matitina, un fogliettino e scrivi... così se sbagli puoi cancellare.

[amel3]

Correggo il $K$ con $RR$ perchè in effetti intendevo scrivere quello, sorry...

Il fatto è che mi ero convinto che questa fosse una forma bilineare simmetrica anisotropa (si chiama così? boh) e allora in quei casi ho visto chiamare tali forme anche prodotti interni o addirittura scalari. Quindi gli ero andato dietro...

"Martino":
Anzi credo proprio che questa forma $$ ammetta un bel po' di polinomi isotropi (quindi non è un prodotto scalare?).

Resta il fatto che non riesco a trovare polinomi isotropi (non dico non ci siano, non li riesco a trovare io)...

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

"amel":Resta il fatto che non riesco a trovare polinomi isotropi (non dico non ci siano, non li riesco a trovare io)...

Ma la ricerca dei vettori isotropi è relativamente "standard" no? (anche se non ricordo un metodo che fosse "sempre quello")

Ne scrivo giusto uno (per rimarcare che ne esistono ) in spoiler:

$x^2+sqrt{2}-2$

[amel3]

Sì sì ok perfetto mi era venuto in mente proprio mentre mi rispondevi... il fatto è che non ho mai avuto modo di fare per bene come argomento le forme bilineari...

Grazie, ciao!