Prodotto scalare polinomi
Sia R3[x] lo spazio vettoriale dei polinomi di grado minore o uguale a 3, aventi coefficienti reali.
Muniamo R3[x] del prodotto scalare:
$ P\cdotQ=\int_{-1}^{1} P(x)Q(x)\, dx $
vorrei capire qual è la dimensione del sottospazio $ {P ∈ R3[x] : P · x = 0} $ e qual è la matrice che rappresenta tale prodotto scalare rispetto alla base canonica di R3[x]
non ho proprio idea da dove cominciare
Muniamo R3[x] del prodotto scalare:
$ P\cdotQ=\int_{-1}^{1} P(x)Q(x)\, dx $
vorrei capire qual è la dimensione del sottospazio $ {P ∈ R3[x] : P · x = 0} $ e qual è la matrice che rappresenta tale prodotto scalare rispetto alla base canonica di R3[x]
non ho proprio idea da dove cominciare
Risposte
La matrice di un'applicazione bilineare si calcola scontrandola con i vettori di una base; chi è, qui, la base canonica?
chi è, qui, la base canonica?
credo sia $ B=(1,x,x^2,x^3) $
ma dovrei fare $ p1(x)\cdot q1(x), p2(x)\cdot q1(x) $ ecc... e nel posto $ (1,1) $ della matrice mettere il prodotto $ p1(x)\cdot q1(x) $ ossia $ 1 $, poi mettere nel posto $ (2,1) $ il prodotto $ p2(x)\cdot q1(x) $ ossia $ x $ e così via ?
Sai come si calcola la matrice rappresentativa di una forma bilineare?
no non ne ho idea e sto cercando di capirlo ma con scarsi risultati, anche perchè il mio libro di algebra non tratta l'argomento
non riesco a capire proprio praticamente cosa vuol dire, i calcoli da effettuare...
"cechuz":
no non ne ho idea e sto cercando di capirlo ma con scarsi risultati, anche perchè il mio libro di algebra non tratta l'argomento
Inizia prendendo due generici vettori $P(x)=a+bx+cx^2+dx^3$ e $Q(x)=e+fx+gx^2+hx^3$ e applica il prodotto scalare dato.
Chiama $e_i$ l'$i$-esimo vettore della base canonica (è quella che hai scritto). E' un polinomio. Dati $e_i$ ed $e_j$ devi fare l'integrale
\[
\int_{[-1,1]}e_i(x)\cdot e_j(x) dx
\] Fine storia. Sei solo vittima dell'incapacità di trattare gli integrali (pertinenza dell'"analisi") come oggetti che possono pertenere, invece, all'algebra lineare. Questa inesperienza si cura imparando più matematica.
\[
\int_{[-1,1]}e_i(x)\cdot e_j(x) dx
\] Fine storia. Sei solo vittima dell'incapacità di trattare gli integrali (pertinenza dell'"analisi") come oggetti che possono pertenere, invece, all'algebra lineare. Questa inesperienza si cura imparando più matematica.
penso di aver capito, il risultato sarà una matrice 4x4 ?
"cechuz":
penso di aver capito, il risultato sarà una matrice 4x4 ?
$ ( ( 2 , 0 , 2/3 , 0 ),( 0 , 2/3 , 0 , 2/5 ),( 2/3 , 0 , 2/5 , 0 ),( 0 , 2/5 , 0 , 2/7 ) ) $
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