Prodotto scalare non canonico
In $RR^3$ si opera con un prodotto scalare $*$ tale che
$( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )*( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )=4$ , $( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )*( ( 3 ),( 5 ),( 3 ) )=4$ , $( ( 3 ),( 5 ),( 3 ) )*( ( 3 ),( 5 ),( 3 ) )=0$
Si determini una base ortogonale del sottospazio
$V=<( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 3 ),( 5 ),( 3 ) )>$
allora prendo il vettore non isotropo della base ovvero $( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )$ e ne devo determinare un vettore ortogonale.
$( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )^bot={x in V: x*( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )=0}$.
Un generico vettore $x in V$ può essere espresso come combinazione lineare degli elementi della base stessa, quindi $x=k( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )+j( ( 3 ),( 5 ),( 3 ) )$ con $k, j in RR$
A questo punto eseguo il prodotto scalare e soprattutto applico la sua linearità:
$k( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )*( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )+j( ( 3 ),( 5 ),( 3 ) )*( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )=0$
da cui $4k+4j=0$ e quindi $k=-j$
Il vettore $x$ (che è ancora sotto forma parametrica) deve essere non isotropo, quindi eseguo $x*x$ e lo pongo diverso da 0.
(ometto i calcoli) quindi ottengo come unica condizione che $j$ sia diverso da 0.
allora a questo punto scelgo arbitrariamente $j=1$ ed ottengo $x=( ( 2 ),( 5 ),( 2 ) )$
a questo punto una base ortogonale del sottospazio è $V=<( ( 2 ),( 5 ),( 2 ) ),( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )>$
è giusto il procedimento? ditemi anche il più piccolo errore o imprecisione
grazie in anticipo
$( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )*( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )=4$ , $( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )*( ( 3 ),( 5 ),( 3 ) )=4$ , $( ( 3 ),( 5 ),( 3 ) )*( ( 3 ),( 5 ),( 3 ) )=0$
Si determini una base ortogonale del sottospazio
$V=<( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) ),( ( 3 ),( 5 ),( 3 ) )>$
allora prendo il vettore non isotropo della base ovvero $( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )$ e ne devo determinare un vettore ortogonale.
$( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )^bot={x in V: x*( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )=0}$.
Un generico vettore $x in V$ può essere espresso come combinazione lineare degli elementi della base stessa, quindi $x=k( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )+j( ( 3 ),( 5 ),( 3 ) )$ con $k, j in RR$
A questo punto eseguo il prodotto scalare e soprattutto applico la sua linearità:
$k( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )*( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )+j( ( 3 ),( 5 ),( 3 ) )*( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )=0$
da cui $4k+4j=0$ e quindi $k=-j$
Il vettore $x$ (che è ancora sotto forma parametrica) deve essere non isotropo, quindi eseguo $x*x$ e lo pongo diverso da 0.
(ometto i calcoli) quindi ottengo come unica condizione che $j$ sia diverso da 0.
allora a questo punto scelgo arbitrariamente $j=1$ ed ottengo $x=( ( 2 ),( 5 ),( 2 ) )$
a questo punto una base ortogonale del sottospazio è $V=<( ( 2 ),( 5 ),( 2 ) ),( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )>$
è giusto il procedimento? ditemi anche il più piccolo errore o imprecisione
grazie in anticipo
Risposte
A parte i calcoli che ho controllato molto molto velocemente, tutto ok. Ecco l'imprecisione:
Questo non è vero. Può anche essere isotropo. L'importante è che sia non nullo (e quindi la scelta $j=1$ va bene).
"Blackorgasm":
Il vettore $x$ (che è ancora sotto forma parametrica) deve essere non isotropo, quindi eseguo $x*x$ e lo pongo diverso da 0.
(ometto i calcoli) quindi ottengo come unica condizione che $j$ sia diverso da 0.
Questo non è vero. Può anche essere isotropo. L'importante è che sia non nullo (e quindi la scelta $j=1$ va bene).
quindi tutti i calcoli per vedere che non sia isotropo sono inutili se non errati giusto?
allora mi bastava dire che il vettore $x$ fosse non nullo e il gioco era fatto?
allora mi bastava dire che il vettore $x$ fosse non nullo e il gioco era fatto?
Sì, secondo me, sono inutili.
Tu trovi che l'ortogonale del primo vettore è formato da tutti i vettori nella forma
$x=-j( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )+j( ( 3 ),( 5 ),( 3 ) )=j((2),(5),(2))$ con $j in RR$
Questo ti dice che lo spazio ortogonale in questione è $<((2),(5),(2))>$ e ovviamente una sua base è formata dal solo vettore $((2),(5),(2))$.
Tu trovi che l'ortogonale del primo vettore è formato da tutti i vettori nella forma
$x=-j( ( 1 ),( 0 ),( 1 ) )+j( ( 3 ),( 5 ),( 3 ) )=j((2),(5),(2))$ con $j in RR$
Questo ti dice che lo spazio ortogonale in questione è $<((2),(5),(2))>$ e ovviamente una sua base è formata dal solo vettore $((2),(5),(2))$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo