Prodotto scalare non canonico

[Reddissimo]

Ciao a tutti, per l'ennesima volta provo a postare un esercizio che non mi riesce sperando in un vostro spunto o aiuto. Allora l'esercizio dice di considerare $RR [t]$ col prodotto scalare definito da: $f(t)Xg(t)=\int_{0}^{1} f(t)g(t) dt$ , si indichino le $\psi in (RR_1 [t])^\bot$. Io ho pensato di svolgere il prodotto scalare e porlo uguale a 0 cosi: $f(t)(\int_{0}^{1} f(t)g(t) dt)(g(t))=0$, perché evidentemente se devo trovare uno spazio ortogonale, il loro prodotto scalare dovrà dare l'insieme vuoto, pero non so più come andare avanti, non riesco a calcolare l'integrale. Sperando in un vostro spunto su cui lavorare vi ringrazio x l'attenzione.
Federico

[misanino]

"Reddissimo":Ciao a tutti, per l'ennesima volta provo a postare un esercizio che non mi riesce sperando in un vostro spunto o aiuto. Allora l'esercizio dice di considerare $RR [t]$ col prodotto scalare definito da: $f(t)Xg(t)=\int_{0}^{1} f(t)g(t) dt$ , si indichino le $\psi in (RR_1 [t])^\bot$. Io ho pensato di svolgere il prodotto scalare e porlo uguale a 0 cosi: $f(t)(\int_{0}^{1} f(t)g(t) dt)(g(t))=0$, perché evidentemente se devo trovare uno spazio ortogonale, il loro prodotto scalare dovrà dare l'insieme vuoto, pero non so più come andare avanti, non riesco a calcolare l'integrale. Sperando in un vostro spunto su cui lavorare vi ringrazio x l'attenzione.
Federico

Alcune puntualizzazioni.
Infatti:
$RR [t]$ è l'anello dei polinomi su $RR$ nella variabile t, credo.
Invece $RR_1 [t]$ cos'è? I polinomi di grado 1 o di grado minore o uguale a 1 o cosa?

[Reddissimo]

Ad essere proprio sincero e poco chiaro anche a me, nelle dispense non ho trovato quella notazione. Credo in ogni caso che si riferisca con $RR[t]$ ai polinomi su $RR$ con variabile t, invece $RR_1[t]$ credo siano i polinomi di grado minore o uguale a uno.

[misanino]

"Reddissimo":Ad essere proprio sincero e poco chiaro anche a me, nelle dispense non ho trovato quella notazione. Credo in ogni caso che si riferisca con $RR[t]$ ai polinomi su $RR$ con variabile t, invece $RR_1[t]$ credo siano i polinomi di grado minore o uguale a uno.

Se $RR_1[t]$ sono i polinomi di grado minore o uguale a uno, allora una base di essi è data da $1$ e $t$.
Quindi devi trovare i polinomi $f(t)$ tali che
$\int_{0}^{1} f(t) dt=0$
e $\int_{0}^{1} f(t)t dt=0$

Prova a pensarci un po' tu.
Se no domani ti aiuto io

[Reddissimo]

Allora, molto probabilmente mi sbaglierò, ma a me e venuto in mente di provare a sostituire i valori di integrazione, trovando cosi una volta il valore $0$, che e logicamente una soluzione perpendicolare, e una volta il valore $t$. Non mi convince molto, però davvero non trovo altre strade. Sono anche molto carente sugli integrali perché alle superiori non li abbiamo trattati e li ho "studiacchiati" un po' da solo. Spero di non aver detto troppo scemenze.

[misanino]

"Reddissimo":Allora, molto probabilmente mi sbaglierò, ma a me e venuto in mente di provare a sostituire i valori di integrazione, trovando cosi una volta il valore $0$, che e logicamente una soluzione perpendicolare, e una volta il valore $t$. Non mi convince molto, però davvero non trovo altre strade. Sono anche molto carente sugli integrali perché alle superiori non li abbiamo trattati e li ho "studiacchiati" un po' da solo. Spero di non aver detto troppo scemenze.

Non capisco questa tua frase....

[Reddissimo]

Ho provato sostituire a $t$ dentro all'integrale, prima $0$ e poi $1$, alche viene fuori che una volta l'integrale da $0$ e l'altra volta da $t$. Quindi ho dedotto, ma molto probabilmente sbaglio, che i polinomi $RR_1[t]$ sono quelli nulli e quelli uguali a $t$. Spero di essere stato meno contorto.

[misanino]

"Reddissimo":Ho provato sostituire a $t$ dentro all'integrale, prima $0$ e poi $1$, alche viene fuori che una volta l'integrale da $0$ e l'altra volta da $t$. Quindi ho dedotto, ma molto probabilmente sbaglio, che i polinomi $RR_1[t]$ sono quelli nulli e quelli uguali a $t$. Spero di essere stato meno contorto.

Ma non hai detto tu che i polinomi di $RR_1[t]$ sono quelli di grado minore o uguale a 1?
Allora è scontato che una base è data da 1 e da t, cioè sono tutti i polinomi della forma $a+bt$ con $a,b\inRR$.
Adesso invece perchè dici che i polinomi di $RR_1[t]$ sono t e quello nullo soltanto??

[Reddissimo]

I polinomi $RR_1[t]$ sono quelli di grado minore o uguale a uno, ma quelli che devo trovare io nell'esercizio sono quelli anche ortogonali. Quindi non so. Forse sto facendo un po' di confusione ma esercizi di questo genere non ne ho mai visti svolti.

[misanino]

"Reddissimo":I polinomi $RR_1[t]$ sono quelli di grado minore o uguale a uno, ma quelli che devo trovare io nell'esercizio sono quelli anche ortogonali. Quindi non so. Forse sto facendo un po' di confusione ma esercizi di questo genere non ne ho mai visti svolti.

Non è che devi trovare anche quelli ortogonali.
Tu devi proprio trovare solo quelli ortogonali.
Come ti ho detto in un post precedente, questo significa che devi trovare i polinomi f(t) tali che:
$\int_0^1f(t)dt=0$
e $\int_0^1f(t)tdt=0$

Ora, prima di tutto ti consiglio di controllare che effettivamente $RR_1[t]$ sia lo spazio dei polinomi di grado minore o uguale a 1.
Comunque se è così vale ciò che ti ho detto sopra.
Scriviamo quindi il nostro generico polinomio f(t) di grado n come
$f(t)=a_n t^n+a_(n-1) t^(n-1)+.....+a_1 t+a_0$ con gli $a_i\in RR$.
Perciò gli integrali diventano
$\int_0^1(a_n t^n+a_(n-1) t^(n-1)+.....+a_1 t+a_0)dt=0$
e $\int_0^1(a_n t^n+a_(n-1) t^(n-1)+.....+a_1 t+a_0)tdt=0$ cioè $\int_0^1(a_n t^(n+1)+a_(n-1) t^n+.....+a_1 t^2+a_0t)dt=0$

da cui, ricordando che l'integrale di $t^k$ è $t^(k+1)/(k+1)$ che valutato nel punto 1 dà $1/(k+1)$, si ricava quindi che deve essere:
$a_n/(n+1)+a_(n-1)/n+.....+a_1/2+a_0=0$
e $a_n/(n+2)+a_(n-1)/(n+1)+.....+a_1/3+a_0/2=0$

Chiaramente, al crescere di n, cresce il numero di soluzioni di queste 2 equazioni e quindi di più non si può dire.

Perciò l'ortogonale di $RR_1[t]$ è dato dai polinomi $a_n t^n+a_(n-1) t^(n-1)+.....+a_1 t+a_0$ tali che:
$a_n/(n+1)+a_(n-1)/n+.....+a_1/2+a_0=0$
e $a_n/(n+2)+a_(n-1)/(n+1)+.....+a_1/3+a_0/2=0$

[Reddissimo]

Cavolo non ci sarei mai arrivato. Grazie mille. Ora mi e un po' piu chiaro. Dovrò cercare qualche esercizio simile di modo da prenderci la mano. Hai mica idea di dove posso trovarne?.
E grazie ancora per averci speso del tempo.

[Reddissimo]

Nessuno ha idea di dove si possano trovare eserciziari con esercizi di questo genere oppure simili a questi:
-https://www.matematicamente.it/forum/prodotto-scalare-da-rr-3-a-rr-4-t50997.html#368952
-https://www.matematicamente.it/forum/geometria-nello-spazio-con-base-non-ortonormale-t50602.html#366413
-https://www.matematicamente.it/forum/diagonalizzazione-mediante-matrici-ortogonali-t50489.html#365928
Grazie in anticipo.