Prodotto scalare euclideo ed endomorfismo
Buonasera.
Ho una domanda riguardo il prodotto scalare.
In un esercizio viene detto:
Si consideri lo spazio vettoriale numerico $R^3$ con il prodotto scalare euclideo s definito ponendo:
$s{(x,y,z),(x',y',z')} = x*x' + 2 y*y' + 4 zz' + 2 yz' + 2y'z $
si consideri inoltre il seguente endomorfismo:
$f: (x,y,z) \in R^3 -> (2x, 2y, x) \in R^3$
1) Si determini il complemento ortogonale rispetto ad $s$ del sottospazio $L(0,0,1)$
il fatto che ci sia un prodotto che non sia quello scalare ''standard'', mi porta a vedere l'endomorfismo in un altro modo?
Cioè mi spiego, per trovare la matrice associata all'endomorfismo va bene:
$((2,0,1),(0,2,0),(0,0,0))$
?
Ho una domanda riguardo il prodotto scalare.
In un esercizio viene detto:
Si consideri lo spazio vettoriale numerico $R^3$ con il prodotto scalare euclideo s definito ponendo:
$s{(x,y,z),(x',y',z')} = x*x' + 2 y*y' + 4 zz' + 2 yz' + 2y'z $
si consideri inoltre il seguente endomorfismo:
$f: (x,y,z) \in R^3 -> (2x, 2y, x) \in R^3$
1) Si determini il complemento ortogonale rispetto ad $s$ del sottospazio $L(0,0,1)$
il fatto che ci sia un prodotto che non sia quello scalare ''standard'', mi porta a vedere l'endomorfismo in un altro modo?
Cioè mi spiego, per trovare la matrice associata all'endomorfismo va bene:
$((2,0,1),(0,2,0),(0,0,0))$
?
Risposte
Cos'è $L(0,0,1)$? è il sottospazio generato da $(0,0,1)$
se così fosse, l'applicazione lineare non centra nulla con il complemento ortogonale di un sottospazio rispetto ad un prodotto scalare.
la matrice associata ad un endomorfismo è individuata solo da come è definita la funzione e dalle basi (di partenza e di arrivo) considerate; il fatto lo spazio vettoriale sia munito di un prodotto scalare non centra nulla.
la matrice che hai scritto tu è la trasposta della matrice associata a $f$ rispetto alle basi canoniche
se così fosse, l'applicazione lineare non centra nulla con il complemento ortogonale di un sottospazio rispetto ad un prodotto scalare.
la matrice associata ad un endomorfismo è individuata solo da come è definita la funzione e dalle basi (di partenza e di arrivo) considerate; il fatto lo spazio vettoriale sia munito di un prodotto scalare non centra nulla.
la matrice che hai scritto tu è la trasposta della matrice associata a $f$ rispetto alle basi canoniche
"marco.bre":
la matrice che hai scritto tu è la trasposta della matrice associata a $f$ rispetto alle basi canoniche
Sì quella che ho scritto è associata alla base standard.
Mi si chiede infatti di scriverla anche nel riferimento $R={(1,1,1),(2,0,1),(0,0,1)}$,, trovare Ker f e Im f e dire se è diagonalizzabile in tale riferimento (potrei anche postare i conti)
e infine:
''si determini il complemento ortogonale rispetto ad s del sottospazio $L(0,0,1)$
ma non capisco
cosa c'entri con il resto delle richieste...
$f in text{End}(bbbR^3)$ è definito da
$f(x,y,z)=(2x,2y,x)$
Calcoliamo la matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica $bbE={e_1,e_2,e_3}$, quindi calcoliamo le immagini attraverso $f$ dei vettori di $bbE$
$f(e_1)=(2,0,1)$
$f(e_2)=(0,2,0)$
$f(e_3)=(0,0,0)$
mettendole in colonna trovo la matrice cercata
$M_{bbE}(f)=((2,0,0),(0,2,0),(1,0,0))$
Per calcolare la matrice associata a $f$ rispetto alla base $bbR$ come hai fatto? e a calcolare $text{im}(f)$ e $text{ker}(f)$ sei capace?
La domanda relativa al complemento ortogonale di $L((0,0,1))$ rispetto al prodotto scalare $s$ è completamente scollegata dal resto, ma è una richiesta pienamente sensata. Innanzitutto poniamo
$V:=L((0,0,1))={(0,0,t):t in bbbR}$
il complemento ortogonale di $V$ rispetto a $s$ è per definizione
\(\displaystyle V^{\perp}=\{ w \in \mathbb R^3: \; s(v,w)=0 \; \forall v \in V\} \)
e qui usi l'espressione esplicita di $s$
$f(x,y,z)=(2x,2y,x)$
Calcoliamo la matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica $bbE={e_1,e_2,e_3}$, quindi calcoliamo le immagini attraverso $f$ dei vettori di $bbE$
$f(e_1)=(2,0,1)$
$f(e_2)=(0,2,0)$
$f(e_3)=(0,0,0)$
mettendole in colonna trovo la matrice cercata
$M_{bbE}(f)=((2,0,0),(0,2,0),(1,0,0))$
Per calcolare la matrice associata a $f$ rispetto alla base $bbR$ come hai fatto? e a calcolare $text{im}(f)$ e $text{ker}(f)$ sei capace?
La domanda relativa al complemento ortogonale di $L((0,0,1))$ rispetto al prodotto scalare $s$ è completamente scollegata dal resto, ma è una richiesta pienamente sensata. Innanzitutto poniamo
$V:=L((0,0,1))={(0,0,t):t in bbbR}$
il complemento ortogonale di $V$ rispetto a $s$ è per definizione
\(\displaystyle V^{\perp}=\{ w \in \mathbb R^3: \; s(v,w)=0 \; \forall v \in V\} \)
e qui usi l'espressione esplicita di $s$
$A' = ((0,2,0),(1,-1,0),(0,-1,0))$
se la matrice $A'$ l'hai trovata mettendo in colonna i vettori $(alpha,beta,gamma)$ trovati nei tre casi allora sì, va bene.
no. per calcolare nucleo e immagine usa la definizione (vedi post336041.html)
per l'ultima parte $v=(0,0,t),w=(w_1,w_2,w_3)$
$s(v,w)=4tw_3+2tw_2=2t(2w_2+w_2)=0 Leftrightarrow$[nota]escludo $t=0$ che corrisponde a $(0,0,0)in V$, questo appartiene a \(\displaystyle V^{\perp} \) in quanto sottospazio[/nota]$w_2=-2w_3$
$Rightarrow$ \(\displaystyle V^{\perp}=\{(w_1,w_2,w_3) \in \mathbb R^3: \; w_1 \in \mathbb R, w_2=-2w_3 \} \)
"ludwigZero":
La matrice che mi serve per far lo studio di Im f e Ker f invece è data da:
$ A = P A' P^-1 $
dove P è la matrice del riferimento dato
no. per calcolare nucleo e immagine usa la definizione (vedi post336041.html)
per l'ultima parte $v=(0,0,t),w=(w_1,w_2,w_3)$
$s(v,w)=4tw_3+2tw_2=2t(2w_2+w_2)=0 Leftrightarrow$[nota]escludo $t=0$ che corrisponde a $(0,0,0)in V$, questo appartiene a \(\displaystyle V^{\perp} \) in quanto sottospazio[/nota]$w_2=-2w_3$
$Rightarrow$ \(\displaystyle V^{\perp}=\{(w_1,w_2,w_3) \in \mathbb R^3: \; w_1 \in \mathbb R, w_2=-2w_3 \} \)
Inizialmente avevo la f in base standard, e la matrice associata era la A
Poi mi si è dato una nuova base
Devo trovare la matrice associata A' nella nuova base.
Faccio la combinazione lineare.... e le $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ trovate sono le colonne della matrice A
Dato che vale:
$A = P A' P^-1$ (con P matrice di passaggio di base composta con i vettori di R...)
e quindi si può dire che A (nella base standard) e A' (nella nuova base) sono matrici ''simili'', il rango è invariante per similitudine e dunque anche la sua Im f ( il rang f si trova con il teorema dim ker f + dim Im f = dim E )
e per avere una base del ker basta porre $f (a_i ) = 0$
(così è scritto nei miei appunti)
"marco.bre":
$f in text{End}(bbbR^3)$ è definito da
$f(x,y,z)=(2x,2y,x)$
Calcoliamo la matrice associata a $f$ rispetto alla base canonica $bbE={e_1,e_2,e_3}$, quindi calcoliamo le immagini attraverso $f$ dei vettori di $bbE$
$f(e_1)=(2,0,1)$
$f(e_2)=(0,2,0)$
$f(e_3)=(0,0,0)$
mettendole in colonna trovo la matrice cercata
$M_{bbE}(f)=((2,0,0),(0,2,0),(1,0,0))$
Poi mi si è dato una nuova base
"ludwigZero":[/quote]
[quote="marco.bre"]
Mi si chiede infatti di scriverla anche nel riferimento $ R={(1,1,1),(2,0,1),(0,0,1)} $,, trovare Ker f e Im f e dire se è diagonalizzabile in tale riferimento (potrei anche postare i conti)
Devo trovare la matrice associata A' nella nuova base.
Faccio la combinazione lineare.... e le $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ trovate sono le colonne della matrice A
Dato che vale:
$A = P A' P^-1$ (con P matrice di passaggio di base composta con i vettori di R...)
e quindi si può dire che A (nella base standard) e A' (nella nuova base) sono matrici ''simili'', il rango è invariante per similitudine e dunque anche la sua Im f ( il rang f si trova con il teorema dim ker f + dim Im f = dim E )
e per avere una base del ker basta porre $f (a_i ) = 0$
(così è scritto nei miei appunti)
si ok, ma questo è vero solo se lavori con $A$. se lavori con $A'$ i vettori $x$ tali che $A'x=0$ rappresentano le coordinate rispetto alla nuova base dei vettori del nucleo
$A' = ((0,2,0),(1,-1,0),(0,-1,0))$
il sistema:
$2 y = 0$
$x - y = 0$
$-y = 0$
sarebbe dunque una base del ker f nella nuova base cioè $ ( 0, 0, z ) $ $ker f = L ( 0,0,1) $ $dim ker f = 1 $?
il sistema:
$2 y = 0$
$x - y = 0$
$-y = 0$
sarebbe dunque una base del ker f nella nuova base cioè $ ( 0, 0, z ) $ $ker f = L ( 0,0,1) $ $dim ker f = 1 $?
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