Prodotto scalare ed Endomorfismo
Ciao a tutti, mi sono bloccata su questo esercizio, qualcuno può aiutarmi per favore? grazie 
"Sia $<,> : RR^3->RR^3$ il prodotto scalare (definito positivo) definito da:
$ <((x_1),(x_2),(x_3)) , ((y_1),(y_2),(y_3))> = (x_1, x_2, x_3) ((2,0,-2),(0,2,0),(-2,0,4)) ((y_1),(y_2),(y_3)) $
1) determinare una base del complemento ortogonale del sottospazio S di $(RR^3, <,>)$ generato da $((1),(0),(-1))$
2) Sia $f$ l'endomorfismo di $RR^3$ definito da
$ f((x_1),(x_2),(x_3)) = ((x_1 +x_2),(x_1+2x_2),(x_3))$
stabilire se $f$ è un endomorfismo simmetrico rispetto al prodotto scalare sopra introdotto.
___
1) per quanto riguarda la prima domanda io ho fatto così:
$ = (x_1, x_2, x_3) ((2,0,-2),(0,2,0),(-2,0,4)) ((1),(0),(-1)) = -x_1-2x_3=0$
quindi una base del complemento ortogonale di S è data dai vettori $((-2),(0),(1)), ((0),(1),(0))$
è giusto?
2) per dimostrare che un endomorfismo è simmetrico, se non sbaglio, devo ricavare la matrice associata all'endomorfismo rispetto ad una base ortonormale (generalmente quella canonica se il prodotto è std) e se essa è simmetrica allora lo è anche l'endomorfismo. ma non so cosa fare in questo esercizio ...
"Sia $<,> : RR^3->RR^3$ il prodotto scalare (definito positivo) definito da:
$ <((x_1),(x_2),(x_3)) , ((y_1),(y_2),(y_3))> = (x_1, x_2, x_3) ((2,0,-2),(0,2,0),(-2,0,4)) ((y_1),(y_2),(y_3)) $
1) determinare una base del complemento ortogonale del sottospazio S di $(RR^3, <,>)$ generato da $((1),(0),(-1))$
2) Sia $f$ l'endomorfismo di $RR^3$ definito da
$ f((x_1),(x_2),(x_3)) = ((x_1 +x_2),(x_1+2x_2),(x_3))$
stabilire se $f$ è un endomorfismo simmetrico rispetto al prodotto scalare sopra introdotto.
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1) per quanto riguarda la prima domanda io ho fatto così:
$
quindi una base del complemento ortogonale di S è data dai vettori $((-2),(0),(1)), ((0),(1),(0))$
è giusto?
2) per dimostrare che un endomorfismo è simmetrico, se non sbaglio, devo ricavare la matrice associata all'endomorfismo rispetto ad una base ortonormale (generalmente quella canonica se il prodotto è std) e se essa è simmetrica allora lo è anche l'endomorfismo. ma non so cosa fare in questo esercizio ...
Risposte
"kika_17":
Sia $ <,> : RR^3->RR^3 $ il prodotto scalare...
Attenzione, in generale, dato uno spazio vettoriale $V$ su un campo $K$, un prodotto scalare dev'essere una funzione del tipo
$<,> :V xx V rightarrow K$
quindi un prodotto scalare associa ad una coppia di vettori uno scalare.
Nel caso in questione si deve avere
$<,> :RR^3 xx RR^3 rightarrow RR$.
Saluti.
ho ricopiato il testo dell'esercizio che ci ha dato il prof, avrà sbagliato a scrivere... oltrepassando ciò, l'esercizio com'è?
Ciao.
Al momento ho dato un'occhiata solo al primo punto.
La procedura mi sembra corretta, ma credo che ci sia stato qualche banale errore di calcolo; infatti sembra che risulti
$< (-2,0,1),(1,0,-1) > = 26!=0$
il che non può essere.
Infatti, se non ho commesso io degli errori, risulterebbe:
$< (x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3) > = 4x_1(y_1-y_3)+2x_2y_2-2x_3(y_1-2y_3)$
quindi
$< (x_1,x_2,x_3),(1,0,-1) > = 8x_1-6x_3$
per cui, richiedendo l'annullamento di $< (x_1,x_2,x_3),(1,0,-1) >$, si otterrebbe che $x_3=4/3x_1$
allora, almeno secondo me, risulterebbe una base $B$ di $S^bot$ del tipo
$B={(3,0,4),(0,1,0)}$
Potrei aver sbagliato io qualcosa, beninteso.
Saluti.
Al momento ho dato un'occhiata solo al primo punto.
La procedura mi sembra corretta, ma credo che ci sia stato qualche banale errore di calcolo; infatti sembra che risulti
$< (-2,0,1),(1,0,-1) > = 26!=0$
il che non può essere.
Infatti, se non ho commesso io degli errori, risulterebbe:
$< (x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3) > = 4x_1(y_1-y_3)+2x_2y_2-2x_3(y_1-2y_3)$
quindi
$< (x_1,x_2,x_3),(1,0,-1) > = 8x_1-6x_3$
per cui, richiedendo l'annullamento di $< (x_1,x_2,x_3),(1,0,-1) >$, si otterrebbe che $x_3=4/3x_1$
allora, almeno secondo me, risulterebbe una base $B$ di $S^bot$ del tipo
$B={(3,0,4),(0,1,0)}$
Potrei aver sbagliato io qualcosa, beninteso.
Saluti.
"kika_17":
2) per dimostrare che un endomorfismo è simmetrico, se non sbaglio, devo ricavare la matrice associata all'endomorfismo rispetto ad una base ortonormale (generalmente quella canonica se il prodotto è std) e se essa è simmetrica allora lo è anche l'endomorfismo. ma non so cosa fare in questo esercizio ...
Un matrice associata rispetto a una base ortonormale è una matrice identità. Basta vedere se la matrice data è simmetrica.
"Gold D Roger":
Un matrice associata rispetto a una base ortonormale è una matrice identità. Basta vedere se la matrice data è simmetrica.
La matrice associata a $f$ è questa??
$((1,1,0),(1,2,0),(0,0,1))$
se è questa, si è una matrice simmetrica.
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