Prodotto scalare e vettori generici
Buongiorno a tutti. Sono uno studente universitario che ha qualche dubbio di troppo sugli argomenti scritti nel titolo. Avrei due quesiti da porvi:
1) Avente la forma bilineare: \[u*v={}^t\mathbf{u}Gv\] con \[G=\begin{bmatrix}1 & 1 \\1 & 4 \end{bmatrix}\]
Bisogna verificarne le proprietà del prodotto scalare (specialmente che sia strettamente positiva).
2) Aventi due vettori generici u e v di R², verificare che:
u + v sia ortogonale a u-v
Determinare λ affinché u e v+λu siano ortogonali
Ho provato a fare tutti e due ma senza alcun risultato, ponendo u e v due matrici quadrate n*n (con n=2). Come dovrei procedere?
1) Avente la forma bilineare: \[u*v={}^t\mathbf{u}Gv\] con \[G=\begin{bmatrix}1 & 1 \\1 & 4 \end{bmatrix}\]
Bisogna verificarne le proprietà del prodotto scalare (specialmente che sia strettamente positiva).
2) Aventi due vettori generici u e v di R², verificare che:
u + v sia ortogonale a u-v
Determinare λ affinché u e v+λu siano ortogonali
Ho provato a fare tutti e due ma senza alcun risultato, ponendo u e v due matrici quadrate n*n (con n=2). Come dovrei procedere?
Risposte
"f451092":
Bisogna verificarne le proprietà del prodotto scalare (specialmente che sia strettamente positiva).
studia gli autovalori della matrice associata alla forma bilineare G: se sono tutti strettamente positivi la condizione è soddisfatta. è una $2 xx 2$ quindi è facilmente risolvibile così, altrimenti esiste il teorema di Sylvester.
per gli altri punti se hai difficoltà posta la tua risoluzione ed in particolare dove hai dubbi.
"f451092":
Ho provato a fare tutti e due ma senza alcun risultato, ponendo u e v due matrici quadrate n*n (con n=2). Come dovrei procedere?
e perchè consideri le matrici quadrate? ti dice che i vettori sono di $RR^2$. prendili così e fanne il prodotto scalare con la regola del punto 1. quando due vettori sono ortogonali?
\[ \begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2}\end{bmatrix} \]
studia gli autovalori della matrice associata alla forma bilineare G: se sono tutti strettamente positivi la condizione è soddisfatta. è una $2 xx 2$ quindi è facilmente risolvibile così, altrimenti esiste il teorema di Sylvester.
per gli altri punti se hai difficoltà posta la tua risoluzione ed in particolare dove hai dubbi.
e perchè consideri le matrici quadrate? ti dice che i vettori sono di $RR^2$. prendili così e fanne il prodotto scalare con la regola del punto 1. quando due vettori sono ortogonali?[/quote]
Ti ringrazio per aver risposto, ho provato a risolvere il secondo quesito tramite questo procedimento:
Pongo:
\[u = \begin{bmatrix}u_{1} \\ u_{2} \end{bmatrix}\] e \[v = \begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2}\end{bmatrix}
\[u+v = \begin{bmatrix}u_{1} \\ u_{2} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix}\]
E quindi:
\[u-v = \begin{bmatrix}u_{1} \\ u_{2} \end{bmatrix}- \begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix}\]
Che sono rispettivamente uguali a:
\begin{bmatrix}u_{1}+v_{1} \\ u_{2}+v_{2}\end{bmatrix}\]
[\begin{bmatrix}u_{1}-v_{1} \\ u_{2}-v_{2}\end{bmatrix}\]
Affinché u+v e u-v siano ortogonali: (u+v)(u-v)=0
Quindi:
(u+v)(u-v) = \begin{bmatrix}u_{1}+v_{1} \\ u_{2}+v_{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{1}-v_{1} \\ u_{2}-v_{2}\end{bmatrix}\]
E qui mi blocco. Qualche suggerimento?
P.S: Come mai le matrici mi vengono una sopra l'altra?
P.S 2: Dubito di aver mai sentito parlare di matrice associata o di autovalori nel mio corso (lo stesso vale per il teorema di Sylvester). Hai qualche link o pdf dove è possibile capire cosa siano?
"cooper":
[quote="f451092"]Bisogna verificarne le proprietà del prodotto scalare (specialmente che sia strettamente positiva).
studia gli autovalori della matrice associata alla forma bilineare G: se sono tutti strettamente positivi la condizione è soddisfatta. è una $2 xx 2$ quindi è facilmente risolvibile così, altrimenti esiste il teorema di Sylvester.
per gli altri punti se hai difficoltà posta la tua risoluzione ed in particolare dove hai dubbi.
"f451092":
Ho provato a fare tutti e due ma senza alcun risultato, ponendo u e v due matrici quadrate n*n (con n=2). Come dovrei procedere?
e perchè consideri le matrici quadrate? ti dice che i vettori sono di $RR^2$. prendili così e fanne il prodotto scalare con la regola del punto 1. quando due vettori sono ortogonali?[/quote]
Ti ringrazio per aver risposto, ho provato a risolvere il secondo quesito tramite questo procedimento:
Pongo:
\[u = \begin{bmatrix}u_{1} \\ u_{2} \end{bmatrix}\] e \[v = \begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2}\end{bmatrix}
\[u+v = \begin{bmatrix}u_{1} \\ u_{2} \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix}\]
E quindi:
\[u-v = \begin{bmatrix}u_{1} \\ u_{2} \end{bmatrix}- \begin{bmatrix}v_{1} \\ v_{2} \end{bmatrix}\]
Che sono rispettivamente uguali a:
\begin{bmatrix}u_{1}+v_{1} \\ u_{2}+v_{2}\end{bmatrix}\]
[\begin{bmatrix}u_{1}-v_{1} \\ u_{2}-v_{2}\end{bmatrix}\]
Affinché u+v e u-v siano ortogonali: (u+v)(u-v)=0
Quindi:
(u+v)(u-v) = \begin{bmatrix}u_{1}+v_{1} \\ u_{2}+v_{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{1}-v_{1} \\ u_{2}-v_{2}\end{bmatrix}\]
E qui mi blocco. Qualche suggerimento?
P.S: Come mai le matrici mi vengono una sopra l'altra?
P.S 2: Dubito di aver mai sentito parlare di matrice associata o di autovalori nel mio corso (lo stesso vale per il teorema di Sylvester). Hai qualche link o pdf dove è possibile capire cosa siano?
"f451092":
P.S: Come mai le matrici mi vengono una sopra l'altra?
questo non lo so
"f451092":
P.S 2: Dubito di aver mai sentito parlare di matrice associata o di autovalori nel mio corso (lo stesso vale per il teorema di Sylvester). Hai qualche link o pdf dove è possibile capire cosa siano?
basta che fai una rapida ricerca in internet e trovi tonnellate di roba, è un argomento piuttosto fondamentale dell'algebra lineare. puoi anche cercare qui tra i messaggi del forum che ci sono diversi argomenti al riguardo.
se però non li hai mai visti allora devi applicare la definizione di prodotto scalare definito positivo. devi cioè verificare che per $v != 0$ allora $v star v > 0$
"f451092":
E qui mi blocco. Qualche suggerimento?
mi sembra che tu voglia calcolare il prodotto riga per colonna tra i due vettori. e questo è sbagliato. devi fare il prodotto scalare tra quelle due robe seguendo la formula che ti è stata dato all'inizio dell'esercizio (la forma bilineare per intenderci).
"cooper":
[quote="f451092"]P.S: Come mai le matrici mi vengono una sopra l'altra?
questo non lo so
"f451092":
P.S 2: Dubito di aver mai sentito parlare di matrice associata o di autovalori nel mio corso (lo stesso vale per il teorema di Sylvester). Hai qualche link o pdf dove è possibile capire cosa siano?
basta che fai una rapida ricerca in internet e trovi tonnellate di roba, è un argomento piuttosto fondamentale dell'algebra lineare. puoi anche cercare qui tra i messaggi del forum che ci sono diversi argomenti al riguardo.
se però non li hai mai visti allora devi applicare la definizione di prodotto scalare definito positivo. devi cioè verificare che per $v != 0$ allora $v star v > 0$
"f451092":
E qui mi blocco. Qualche suggerimento?
mi sembra che tu voglia calcolare il prodotto riga per colonna tra i due vettori. e questo è sbagliato. devi fare il prodotto scalare tra quelle due robe seguendo la formula che ti è stata dato all'inizio dell'esercizio (la forma bilineare per intenderci).[/quote]
Credo di essermi espresso male. Il secondo esercizio è completamente indipendente al primo. E proverò a fare il primo esercizio con questo metodo.
"f451092":
Il secondo esercizio è completamente indipendente al primo
ah ok! non cambia niente se non il prodotto scalare che utilizzi. il concetto che deve passarti è che deve essere nullo il prodotto scalare tra i due vettori e non quello righe per colonne vedendo i due vettori come matrici (che comunque non sarebbe possibile fare).
se è scollegato dal punto 1 allora il prodotto scalare, se non espressamente dato dall'esercizio, assumo che sia il prodotto scalare standard di $RR^2$
però non mi sembra i due siano ortogonali.
"cooper":
[quote="f451092"] Il secondo esercizio è completamente indipendente al primo
ah ok! non cambia niente se non il prodotto scalare che utilizzi. il concetto che deve passarti è che deve essere nullo il prodotto scalare tra i due vettori e non quello righe per colonne vedendo i due vettori come matrici (che comunque non sarebbe possibile fare).
se è scollegato dal punto 1 allora il prodotto scalare, se non espressamente dato dall'esercizio, assumo che sia il prodotto scalare standard di $RR^2$[/quote]
Credo di essere riuscito a risolvere il primo esercizio. Ho sempre qualche perplessita per il secondo, ma proverò. Ti ringrazio ancora per l'aiuto.
di nulla, se serve basta che scrivi 
"cooper":
studia gli autovalori della matrice associata alla forma bilineare G: se sono tutti strettamente positivi la condizione è soddisfatta. è una $2 xx 2$ quindi è facilmente risolvibile così, altrimenti esiste il teorema di Sylvester.
Calcolare gli autovalori è più lungo anche nel caso 2x2. Secondo me il criterio di Sylvester è una meraviglia e lo userei sempre, a meno che, naturalmente, non sia necessario conoscere esplicitamente gli autovalori per qualche calcolo successivo.
comodo è comodo e non ti porti dietro delle variabili e un'equazione da risolvere. in più è sempre efficacie. personalmente però calcolo sempre gli autovalori un po' da autolesionista (anche perchè a lezione non l'avevamo fatto e me lo sono fatto per conto mio e quindi negli esercizi per l'esame mi sono abituato a non usarlo).
mi associo dunque anche io al consiglio di usarlo sempre e comunque se se ne ha la possibilità
mi associo dunque anche io al consiglio di usarlo sempre e comunque se se ne ha la possibilità
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo