Prodotto scalare e restrizioni

[simos93]

Siano $W_1$ e $W_2$ sottospazi vettoriali di $V$ $RR$-spazio vettoriale dotato di prodotto scalare $Phi$. Se $V=W_1⊕W_2$ e le restrizioni del prodotto scalare a entrambi i sottospazi sono definite positive, allora $Phi$ è definito positivo. Vero o falso?
Per via della scomposizione in somma diretta, $AA v in V$ $v=w_1+w_2$ con $w_1inW_1$ e $w_2inW_2$
Allora $AAvinV$ con $v!=0$ si ha: $Phi(v,v)=Phi(w_1+w_2,w_1+w_2)=Phi(w_1,w_1)+2Phi(w_1,w_2)+Phi(w_2,w_2)$
Ora il primo e l'ultimo termine sono positivi perchè la restrizione del prodotto scalare ai sottospazi è definita positiva. Dunque si ha che $Phi$ è definito positivo se e solo se $Phi(w_1,w_2)>(-Phi(w_1,w_1)-Phi(w_2,w_2))/2$
Come faccio a dimostrare quest'ultima proposizione?

[Newton_1372]

Usa Sylvester: esistono due basi di $W_1,W_2$ tali che la loro matrice associata è l'identità. Accodando le due basi Hai quattro blocchi. IN quelli diagonali hai l'identità, in quelli laterali "BOH". Ma a questo punto ti viene in aiuto la teoria. Si ha $V=W_1\oplus W_1+$ e anche $V=W_1\oplus W_2$ (nota bene, la prima la sto usando perchè so che $\phi_(W_1)$ è non degenere. Per l'unicità del supplementare si ha che i due sottospazi sono ortogonali, e quindi $\phi(w_1,w_2)=0$ per ogni $w_1\in W_1$ e per ogni $w_2\in W_2$. A questo punto la tua matrice è diventata senz'altro l'identità..

[simos93]

Grazie mille!!